重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（二）（含答案）

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重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（二）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．3.1415926
2．（4分）下列整式的运算中，正确的是（　　）
A．3+x＝3x B．﹣2×（﹣3）＝﹣6
C．2（3﹣a）＝6﹣2a D．2a+a3＝3a3
3．（4分）已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
4．（4分）已知线段a＝4，b＝2，则线段a，b的比例中项为（　　）
A．±8 B．8 C．±2 D．2
5．（4分）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（　　）
A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．
6．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．5或7
7．（4分）D、E、F分别为△ABC三边的中点，△DEF为面积为6，则△ABC的面积为（　　）
A．3 B．9 C．12 D．24
8．（4分）父子二人并排竖直站立于游泳池中时（游泳池底面是水平的），爸爸露出水面的高度是他自身高度的，儿子露出水面的高度是他自身高度的，父子二人的身高一共是3.24米，若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．31 B．48 C．17 D．33
10．（4分）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．70°
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：＝　 　．
12．（4分）多项式xa2﹣xb2因式分解的结果是　 　．
13．（4分）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°．则这个多边形的边数为　 　．
14．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3）关于y轴对称的点为A'，则点A'的坐标是 　 　．
15．（4分）已知点B的坐标为（2，1），AB∥y轴，且线段AB＝4，则点A的坐标为 　 　．
16．（4分）如图，△ABC的角平分线BD与CE交于点O，若∠COD＝50°，则∠BAC的度数是 　 　．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，则EF的长为　 　．

18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字下相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．将一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“异友数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（6157）＝　 　.若“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：﹣|﹣3|；
（2）计算：x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
20．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3）．
（1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1，点A1的坐标为 　 　；
（2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，点C2的坐标为 　 　．

21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是底边AB上的高．
（1）请用尺规作图的方法，作∠CAD的角平分线，交CD于F，交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠CFE＝∠CEF．

22．（10分）华罗庚先生是中国著名数学家．为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”．小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x＜60
60≤x＜65
65≤x＜70
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
频数
3
1
11
7
m
3
2
​
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出m的值是 　 　，截止到第十六届共有 　 　人获得“华罗庚数学奖”；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 　 　（填“小”或“大”），理由是 　 　．
23．（10分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．

（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD　 　∠COB；
（2）求证：△AOG≌△COE；
（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝　 　°．

24．（10分）在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元．
（1）求两种模型的售价各是多少元；
（2）已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．
25．（10分）已知在平面直角坐标系中有三点A（1，﹣2），B（1，3），C（﹣4，1）．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置，并画出△ABC．
（2）求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点P使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
（1）如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1；
②求证：∠EAC＝∠EDC；
（2）如图2，若0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．


重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷练习（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．3.1415926
【答案】B
【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案．
【解答】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（4分）下列整式的运算中，正确的是（　　）
A．3+x＝3x B．﹣2×（﹣3）＝﹣6
C．2（3﹣a）＝6﹣2a D．2a+a3＝3a3
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则即可判断选项A和选项D；根据有理数的乘法法则即可判断选项B；根据去括号法则即可判断选项C．
【解答】解：A.3和x不能合并，故本选项不符合题意；
B．﹣2×（﹣3）＝6，故本选项不符合题意；
C.2（3﹣a）＝6﹣2a，故本选项符合题意；
D.2a和a3不能合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
4．（4分）已知线段a＝4，b＝2，则线段a，b的比例中项为（　　）
A．±8 B．8 C．±2 D．2
【答案】D
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：设线段a、b的比例中项为x，
则x2＝ab，
即x2＝4×2，
解得x＝2或x＝﹣2＜0（舍去），
故选：D．
5．（4分）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（　　）
A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），
∴选项B符合题意；
∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣＞﹣，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
6．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．5或7
【答案】C
【分析】根据题意可求出a与b的值，然后分情况讨论该等腰三角形即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a＝1，b＝3，
当a为腰，b为底边时，
此时1+1＜3，故不能组成三角形，
当a为底边，b为腰时，
此时1+3＞3，故能组成三角形，
∴该三角形的周长为：1+3+3＝7
故选：C．
7．（4分）D、E、F分别为△ABC三边的中点，△DEF为面积为6，则△ABC的面积为（　　）
A．3 B．9 C．12 D．24
【答案】D
【分析】根据中位线定理可证△DEF∽△ABC，相似比为，所以S△ABC＝4S△DEF＝4×6＝24．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴DE＝BC，EF＝AB，DF＝AC，
∴△DEF∽△ABC，相似比为，
∴S△DEF：S△BAC＝1：4，
即S△BAC＝4S△DEF＝4×6＝24．
故选：D．
8．（4分）父子二人并排竖直站立于游泳池中时（游泳池底面是水平的），爸爸露出水面的高度是他自身高度的，儿子露出水面的高度是他自身高度的，父子二人的身高一共是3.24米，若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高＝3.24米；②儿子在水中的身高（1﹣）y＝父亲在水中的身高（1﹣）x，根据等量关系可列出方程组．
【解答】解：由题意可得：，
故选：D．
9．（4分）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．31 B．48 C．17 D．33
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知条件求出a的范围，求出方程的解，根据y＞21求出a的范围，求出公共部分，再求出a的整数解，最后求出答案即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤9，
解不等式②，得x≥，
所以不等式组的解集是≤x≤9，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，
∴3＜≤4，
解得：13＜a≤17，
解方程﹣＝1得：y＝6+a，
∵y＞21，
∴6+a＞21，
解得：a＞15，
∴15＜a≤17，
∵a为整数，
∴a为16或17，
16+17＝33，
故选：D．
10．（4分）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】首先利用直角三角形可得∠BCD得度数，再根据“HL“可得△BEC≌△CDB，进而得到∠BCD＝∠CBE，可得∠A．
【解答】解：∵BD是高，∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：＝　﹣．　．
【答案】﹣．
【分析】直接根据立方根的概念判断即可．
【解答】解：原式＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（4分）多项式xa2﹣xb2因式分解的结果是　x（a+b）（a﹣b）　．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（a2﹣b2）＝x（a+b）（a﹣b），
故答案为：x（a+b）（a﹣b）
13．（4分）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°．则这个多边形的边数为　14　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝2260°﹣α，
∵2260°＝12×180°+100°，内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个外角为100°，
∴这是12+2＝14边形的内角和．
故答案为：14．
14．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3）关于y轴对称的点为A'，则点A'的坐标是 　（2，3）　．
【答案】（2，3）．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A′的坐标．
【解答】解：点A（﹣2，3）关于y轴对称的点A′的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
15．（4分）已知点B的坐标为（2，1），AB∥y轴，且线段AB＝4，则点A的坐标为 　（2，﹣3）或（2，5）　．
【答案】（2，﹣3）或（2，5）．
【分析】线段AB∥y轴，把点A向下或上平移4个单位即可得到B点坐标．
【解答】解：∵线段AB∥y轴，
∴点B的纵坐标与点A的横坐标相同，
∵AB＝4，
∴点B的坐标是（2，﹣3）或（2，5）．
故答案为（2，﹣3）或（2，5）．
16．（4分）如图，△ABC的角平分线BD与CE交于点O，若∠COD＝50°，则∠BAC的度数是 　80°　．

【答案】80°．
【分析】由邻补角可求得∠BOC＝130°，再由三角形的内角和可得∠BCO+∠CBO＝50°，由角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBO，∠ACB＝2∠BCO，则有∠ABC+∠ACB＝100°，再由三角形的内角和可求∠BAC的度数．
【解答】解：∵∠COD＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠COD＝130°，
在△BOC中，∠BCO+∠CBO＝180°﹣∠BOC＝50°，
∵△ABC的角平分线BD与CE交于点O，
∴∠ABC＝2∠CBO，∠ACB＝2∠BCO，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠CBO+∠BCO）＝100°，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝80°．
故答案为：80°．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，则EF的长为　2　．

【答案】见试题解答内容
【分析】延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，作EH⊥BG于H，易证△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可证明GH∥AC，得到∠HBE＝∠A＝60°，解直角三角形求得BH、EH，然后根据勾股定理求得GE，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF＝EG，即可求得EF的长，即可解题．
【解答】解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，作EH⊥BG于H，

∵在△CDF和△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，
∴GH∥AC
∵∠A＝60°，
∴∠HBE＝∠A＝60°，
∵BE＝2，
∴BH＝BE＝1，HE＝BE＝，
∴GH＝BG+HB＝4+1＝5，
∴EG＝＝＝2，
∵DE⊥FG，DF＝DG，
∴EF＝EG＝2．
故答案为：2．
18．（4分）若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字下相等，那么称这个四位正整数为“异友数”．将一个“异友数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为P（m）．例如，“异友数”m＝2135，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为135+235+215+213＝798，798÷3＝266，所以P（2135）＝266．计算：P（6157）＝　682　.若“异友数”n的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且P（n）能被13整除，则n的值为 　4648　．
【答案】（1）682；
（2）4648．
【分析】先根据“异友数”的定义求出P（6157）＝682；设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，根据“异友数”的定义求出x，y的取值范围，进而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分别当y＝1，2，3，4时讨论即可．
【解答】解：∵6157去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：615、617、157、657，这四个三位数之和为615+617+157+657＝2046，2046÷3＝682，
∴P（6157）＝682；
设“异友数”n的千位数字为x，百位数字为x+2，十位数字为y，个位数字是2y，
∵一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“异友数”
∴x≠2y，x+2≠y，且，
∴x≠2y，x+2≠y，，
∴n去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：100（x+2）+10y+2y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+2y、100x+10（x+2）+y，
这四个三位数之和为100（x+2）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+2）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷3＝140x+9y+80，
∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+6）+10x+9y+2，
∵P（n）能被13整除，
∴10x+9y+2能被13整除，
当y＝1时，10x+9y+2＝10x+11，x≠2，存在x＝8使10x+9y+2能被13整除，但1≤x≤7，故不符合题意；
当y＝2时，10x+9y+2＝10x+20＝13+10x+7，x≠4，在1≤x≤7范围内不存在整数x使10x+9y+2能被13整除；
当y＝3时，10x+9y+2＝10x+29＝26+10x+3，存在x＝1使10x+9y+2能被13整除，此时n＝1336；（不符合题意，舍去）
当y＝4时，10x+9y+2＝10x+38＝26+10x+12，存在x＝4使10x+9y+2能被13整除，此时n＝4648；
综上所述，n＝4648；
故答案为：682；4648．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：﹣|﹣3|；
（2）计算：x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
【答案】（1）﹣1；（2）3x3﹣5x2+6x．
【分析】（1）先分别按照立方根、平方根的求法和绝对值的化简法则计算，再合并同类项即可；
（2）先按照单项式乘以多项式运算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣|﹣3|
＝﹣5+7+﹣3
＝﹣1；
（2）x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）
＝x3﹣x2+2x3﹣4x2+6x
＝3x3﹣5x2+6x．
20．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3）．
（1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1，点A1的坐标为 　（3，0）　；
（2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，点C2的坐标为 　（﹣1，﹣1）　．

【答案】（1）A1（3，0）；
（2）C2（﹣1，﹣1）．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为 （3，0）；

故答案为（3，0）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣1）．
21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是底边AB上的高．
（1）请用尺规作图的方法，作∠CAD的角平分线，交CD于F，交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠CFE＝∠CEF．

【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用基本作图作∠CAD的平分线即可；
（2）利用∠AFD+∠DAF＝90°，∠CEF+∠CAF＝90°，而∠DAF＝∠CAF，则∠CEF＝∠DFA，然后根据对顶角相等可得到∠CFE＝∠CEF．
【解答】（1）解：如图，CE为所作；

（2）证明：CD是底边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AFD+∠DAF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CEF+∠CAF＝90°，
∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
22．（10分）华罗庚先生是中国著名数学家．为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献设立了“华罗庚数学奖”．小聪对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）进行收集、整理，绘制成如下的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图．
年龄分组
55≤x＜60
60≤x＜65
65≤x＜70
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
频数
3
1
11
7
m
3
2
​
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出m的值是 　3　，截止到第十六届共有 　30　人获得“华罗庚数学奖”；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄 　小　（填“小”或“大”），理由是 　因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小　．
【答案】（1）3，30；
（2）见解析；
（3）小，理由见解析．
【分析】（1）“75≤x＜80“之外的频数除以90%可得总人数，用总人数乘以10%即可求出m的值；
（2）根据m的值，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）根据70及70以上的百分比即可得答案．
【解答】解：（1）截止到第十六届，获得“华罗庚数学奖”的人数为（3+1+11+7+3+2）÷（1﹣10%）＝30，
∴m＝30×10%＝3；
故答案为：3，30；
（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：

（3）他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由：
因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
故答案为：小，因为70及70以上的百分比为＝50%，所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
23．（10分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．

（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD　＝　∠COB；
（2）求证：△AOG≌△COE；
（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝　120　°．

【答案】（1）＝；
（2）证明见解析；
（3）120．
【分析】（1）由全等三角形的性质得∠AOB＝∠COD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得OA＝OC，∠A＝∠C，再由ASA证△AOG≌△COE即可；
（3）由全等三角形的性质得OA＝OC，OB＝OD，则OA＝OB＝OC＝OD，再由三角形中位线定理得OE∥AD，则∠ODA＝∠BOD，然后证∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝60°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△AOB≌△COD，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，
即∠AOD＝∠COB，
故答案为：＝；
（2）证明：∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠A＝∠C，
在△AOG和△COE中，
，
∴△AOG≌△COE（ASA）；
（3）如图，∵△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠ODA＝∠BOD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝∠BOD+∠BOC+∠AOD＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
故答案为：120．

24．（10分）在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元．
（1）求两种模型的售价各是多少元；
（2）已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．
【答案】（1）A种模型的售价为30元/台，B种模型的售价为20元/台；
（2）准备A种模型66台，则准备B种模型34台的时候总收入最多，总收入的最大值为2660元．
【分析】（1）根据售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以写出总收入与购买A种模型数量的函数解析式，再根据A模型的数量不超过B模型的2倍，可以得到相应的不等式，然后即可得到A种模型数量的取值范围，最后根究一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A种模型的售价为x元/台，B种模型的售价为y元/台，
由题意可得：，
解得，
答：A种模型的售价为30元/台，B种模型的售价为20元/台；
（2）设准备A种模型m台，则准备B种模型（100﹣m）台，总收入为w元，
∵A模型的数量不超过B模型的2倍，
∴m≤2（100﹣m），
解得，
∵w＝30m+20（100﹣m）＝10m+2000，
∴w随m增大而增大，
∵m为整数，
∴当m＝66时，w有最大值，此时w＝2660，100﹣m＝34，
答：准备A种模型66台，则准备B种模型34台的时候总收入最多，总收入的最大值为2660元．
25．（10分）已知在平面直角坐标系中有三点A（1，﹣2），B（1，3），C（﹣4，1）．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置，并画出△ABC．
（2）求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点P使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）图见解答；
（2）；
（3）（5，0）或（﹣3，0）．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出A，B，C的位置；
（2）以AB为底边，求出AB的值，C到AB的距离为高，根据图象得出高为5，用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（3）根据三角形ABP的面积求出P到AB的距离，再由P在x轴上确定点P的位置．
【解答】解：（1）描点如图：

（2）由题意得AB||y轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，
由图得C到AB的距离为5，
∴；
（3）存在，
∵AB＝5，S△ABP＝10，
∴P点到AB的距离为4，
又∵点P在x轴上，P点的坐标为（5，0）或（﹣3，0）．
26．（12分）已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
（1）如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1；
②求证：∠EAC＝∠EDC；
（2）如图2，若0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）①补全图形如图1所示；
②证明见解答过程；
（2）BE＝CE+DE．
【分析】（1）①根据题意画出图形；
②根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，CA＝CB，根据等边三角形的性质证明结论；
（2）分点C在AB上方、点C在AB下方两种情况，证明△CDF≌△CBE，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】（1）①解：补全图形如图1所示；
②证明：∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，CA＝CB，
∴∠EAC＝∠B，
∵△ACD是等边三角形，
∴CA＝CD，
∴CD＝CB，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠EAC＝∠EDC；
（2）BE＝CE+DE，
证明：如图2，当点C在AB上方时，在EB上截取EF＝CE，连接CF，
∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，CA＝CB，
∴∠EAB＝∠EBA，∠CAB＝∠CBA，
∴∠EAB﹣∠CAB＝∠EBA﹣∠CBA，即∠EAC＝∠EBC，
∵△ACD是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴CD＝CB，
∴∠EDC＝∠EBC，
∴∠EDC＝∠EAC，
∵∠DHE＝∠AHC，
∴∠DEA＝∠ACD＝60°，
∴∠AEB＝120°，
∵EA＝EB，m⊥AB，
∴∠AEC＝∠BEC＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE，
∴BE＝CE+DE；
当C在AB下方时，情况与点C在AB上方时关于AB对称，
∴BE＝CE+DE．