人教版七年级上册第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程一课一练

专题09 用一元一次方程解决实际问题(1)

考点一 用一元一次方程解决行程问题             考点二 用一元一次方程解决配套问题

考点三 用一元一次方程解决工程问题             考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题

考点五 用一元一次方程解决比赛积分问题         考点六 用一元一次方程解决方案选择问题

考点一 用一元一次方程解决行程问题

例题：（2022·湖南省隆回县第二中学七年级阶段练习）已知A，B两地相距400千米，甲、乙两车从A地向B地运送货物．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时80千米，甲车先出发0.5小时后乙车才开始出发．

(1)乙车出发几小时后，才能追上甲车？

(2)追上乙车时，距离B地还有多远？

【变式训练】

1．（2022·贵州毕节·七年级期末）修建中的贵阳经金沙至古蔺高速公路是《贵州省交通运输“十三五”发展规划》重点实施项目，项目全长约，其中古蔺至金沙段全长近，设计时速的双向六车道高速公路，它的建成将加快金沙经济的快速发展．建成后若一辆小轿车以的速度从古蔺匀速行驶，15分钟后一辆客车以的速度从金沙匀速出发．问：小轿车能否在到达贵阳之前追上客车？若不能追上说明理由；若能追上则追上时距离目的地贵阳还有多远？（列一元一次方程解）

2．（2022·全国·七年级课时练习）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为8，0，，

(1)动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，点P运动________秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是________．

(2)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从B点出发，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，试探究：经过多少秒时，点M、N两点间的距离为5个单位？

考点二 用一元一次方程解决配套问题

例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用______张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．

【变式训练】

1．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）某玩具厂有工人84人，平均每人每天生产如图所示的大玩具熊10个或小玩具熊16个，2个大玩具熊和1个小玩具熊正好配成一套“快乐之家”，要使每天生产的大玩具熊、小玩具熊刚好配家成“快乐之家”，则应安排生产大玩具熊、小玩具熊的人数分别为多少人？

2．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或200个B部件，现要用6钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套？

考点三 用一元一次方程解决工程问题

例题：（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？

【变式训练】

1．（2022·全国·七年级开学考试）一项工程，如果甲队单独做5天可以完成全工程的；如果乙、丙两队合做2天可以完成全工程．三队合做多少天可以完成全工程？

考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题

例题：（2022·福建泉州·七年级期末）一种商品的售价为120元，由于购买的人多，商家便提价25%销售，但提价后，商品滞销，商家只好再降价x%，使商品售价恢复到了原价，那么x%＝(    )．

A．25 B．20 C．25% D．20%

【变式训练】

1．（2020·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加____%．

2．（2022·全国·七年级专题练习）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．

(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为       元，利润率为      ％．

(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？

考点五 用一元一次方程解决比赛问题

例题：（2022·湖南·衡阳市船山英文学校七年级阶段练习）足球比赛的记分规则：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某队打了场，负场，共得分，那么这个队平了（    ）

A．场 B．场 C．场 D．场

【变式训练】

1．（2021·广东惠州·七年级期末）某次数学测试共20道选择题，答对一道得5分，答错或不答倒扣2分．小明在这次考试中得了79分，则他答对了____道题．

2．（2021·福建·莆田砺志学校七年级阶段练习）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了60分，他一共做对了_________题.

考点六 用一元一次方程解决方案选择问题

例题：（2022·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：

方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．

(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；

(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．

【变式训练】

1．（2022·吉林·农安县第一中学七年级阶段练习）某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨（两种加工方式不能同时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：

方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；

方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．

你认为哪种方案获利较多，为什么？

2．（2021·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：

（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）

(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；

(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．

一、选择题

1．（2022·四川·西昌市川兴中学七年级阶段练习）某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，按定价的九折出售将赚20元．问这种商品的定价是（   ）

A．100 B．200 C．250 D．300

2．（2022·湖南·七年级单元测试）古代名菩《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）

A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150

C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×150

3．（2021·河南信阳·七年级期末）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．（2022·山东临沂·七年级期末）一项工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要8天完成．若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程，则甲一共做了 _____天．

5．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）一份试卷共有26道选择题，答对一题得8分，答错一题扣5分，现有一个考生虽然做了全部26道题，但所得总分却为0分，那么他做对了_______道题．

6．（2022·广东惠州·七年级期末）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有张铁皮，用 _____张铁皮制作盒身，正好使得这张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．

三、解答题

7．（2022·全国·七年级专题练习）平益高速平江段施工由甲、乙两工程队完成，已知甲单独完成需200天，乙队单独完成需300天，现由甲先做40天，然后甲、乙一起完成，则甲、乙一起还需多少天才能完成工作？

8．（2022·湖南·七年级单元测试）小明和爸爸下象棋，爸爸赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，下了8盘后，两人得分相等，如果没有和棋，那么他们各赢了多少盘？对于这个问题，请你设未知数，列出方程，并解方程．

9．（2022·上海市罗南中学阶段练习）周末，甲乙两人沿环形生态跑道散步，甲每分钟行80米，乙每分钟行120米，跑道一圈长400米．求：

(1)若甲乙两人同时同地同向出发，多少分钟后他们第一次相遇？

(2)若两人同时同地反向出发，多少分钟后他们第一次相距100米？

10．（2022·全国·七年级专题练习）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？

11．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3， 数轴上一动点P对应的数为x．

(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；

(2)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A，点B的距离相等．

12．（2022·全国·七年级专题练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图所示的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，其中的x张用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪．

(1)填空：用含x的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是_____________，裁剪出的底面的个数是_____________．（要求：代数式不是最简要化为最简形式）

(2)若裁剪出的侧面和底面恰好用完，求多少张硬纸板用A方法裁剪，多少张硬纸板用B方法裁剪？能做多少个三棱柱盒子？

13．（2022·内蒙古通辽·七年级期末）这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，每张票价60元．由各班班长负责买票，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：

方案一：全体人员可打8折；

方案二：若打9折，有6人可以免票．

(1)一班班长思考了一会儿，说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问一班有几人？

(2)如果二班有58人，二班应该选择哪种优惠方案更省钱．说明理由．

14．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本20元．为了促销，甲说：“凡来我处进货一律九折．”乙说：“如果订货超出100本，则超出的部分打八折”

(1)设该书店准备订购本图书，请用含的整式表示在甲供应商所需支付的钱数为______元，在乙供应商所需支付的钱数为______元；

(2)在（1）的条件下，当购进多少本图书时，去两个供应商处的进货价钱一样多？

(3)已知该书店第一次从乙供应商处购进了500本图书，书店以每本24元全部售出．该书店第二次从乙供应商购进的数量比第一次多20%，如果第二次购进的图书也能全部售出，则第二次购进图书每本售价应为多少元时，书店两批图书的总利润率为50%？

15．（2022·湖南·七年级单元测试）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元

(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为       元，利润率为      ％

(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？

16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计）

(1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？

(2)当，时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？

(3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元．A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠．那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？