专题5.9 期末真题重组培优卷-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（人教版）

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2022-2023学年七年级数学上册期末真题重组培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·福建·上杭县第三中学七年级期末）在﹣（﹣3），（﹣3）2，﹣|﹣3|，﹣32中，负数有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值，逐项分析计算即可
【详解】解：﹣（﹣3）＝3；（﹣3）2＝9；﹣|﹣3|＝﹣3；﹣32＝﹣9．
其中负数有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，有理数的乘方，绝对值，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
2．（3分）（2022·河北唐山·七年级期末）下列计算中结果正确的是（　　）
A．4+5ab＝9ab B．6xy﹣x＝6y
C．3a2b﹣3ba2＝0 D．12x3+5x4＝17x7
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则进行解题，同类项合并时，系数相加减，字母和各字母的指数都不改变．
【详解】解：∵4和5ab不是同类项，不能合并，
∴A错误，不符合题意；
∵6xy和x不是同类项，不能合并，
∴B错误，不符合题意；
∵3a2b和3ba2是同类项，可以合并，系数相减，字母和各字母的指数不变得：3a2b﹣3ba2＝0，
∴C正确，符合题意；
∵12x3和5x4不是同类项，不能合并，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查整式的加减，在做整式加减的过程中主要用到的有同类项的合并．在合并同类项时，系数相加减，字母和各字母的指数不变．
3．（3分）（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程4x−2m=3x−1的解是x=2x−3m的解的2倍，则m的值为（    ）
A．12 B．14 C．−14 D．−12
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-14．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（3分）（2022·河北承德·七年级期末）已知A=5x2−3x+4,B=3x2−3x−2，则A与B的大小关系为（    ）
A．A>B B．A 【答案】A
【分析】利用作差法比较A与B的大小即可．
【详解】解：∵A=5x2−3x+4,B=3x2−3x−2
∴A−B=(5x2−3x+4)−(3x2−3x−2)
=5x2−3x+4−3x2+3x+2
=2x2+6
∵x2≥0
∴A−B>0，即A>B
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式的运算，正确去括号是解答本题的关键．
5．（3分）（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列的方程是（　　）
A．x40+x40+50=1 B．440+x40×50=1
C．440+x50=1 D．440+x40+x50=1
【答案】D
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的140，乙每天做整个工程的150，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1．
【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1列出方程式为：
440+x40+x50=1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决这类问题关键是找到等量关系．
6．（3分）（2022·山东菏泽·七年级期末）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOD＝2∶11，则∠AOB＝（    ）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】C
【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD，设∠AOB=2α，则∠AOD=11α，故∠AOB+∠BOC=9α=90°，解得α，从而可求解．
【详解】解：∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD， 设∠AOB=2α，
∵∠AOB：∠AOD=2：11，
∴∠AOD=11α,∠AOC=9α,  
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°，
解得α=10°，
∴∠AOB=20°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
7．（3分）（2022·贵州铜仁·七年级期末）己知点M是线段AB上一点，若AM=14AB，点N是直线AB上的一动点，且AN−BN=MN，则MNAB的（    ）
A．34 B．12 C．1或12 D．34或2
【答案】C
【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N在射线BA上时，AN 当N在射线AB上时，AN−BN=AB=MN，此时MNAB=1

当N在线段AB上时，

由图可知AN=MN+AM，BN=BM−MN
∴AN−BN=MN+AM−BM+MN=2MN+AM−BM=MN，
∴MN=BM−AM
∵AM=14AB
∴BM=34AB
∴MN=BM−AM=12AB
∴MNAB=12
故选：C．
【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．
8．（3分）（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（　　）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．
【详解】解：当n＝21时，
经过1次运算输出的数是64，
经过2次运算输出的数是32，
经过3次运算输出的数是16，
经过4次运算输出的数是8，
经过5次运算输出的数是4，
经过6次运算输出的数是2，
经过7次运算输出的数是1，
经过8次运算输出的数是4，
经过9次运算输出的数是2，
……
∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，
∵（3分）（2022﹣4）÷3＝672……2，
∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．
9．（3分）（2022·安徽滁州·七年级期末）将正整数1至2018按一定规律排列如表，平移表中带阴影的方框，则方框中的三个数的和可以是（    ）


A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
【答案】D
【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为x−1、x+1，进而可得出三个数之和为3x，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列数，即可确定x值，此题得解．
【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x−1、x+1，
∴三个数之和为(x−1)+x+(x+1)=3x．
当3x=2019时，
解得：x=673，
∵673=84×8+1，
∴2019不合题意，故A不合题意；
当3x=2018时，
解得：x=67223，故B不合题意；
当3x=2016时，
解得：x=672，
∵672=84×8，
∴2016不合题意，故C不合题意；
当3x=2013时，
解得：x=671，
∵671=83×8+7，
∴三个数之和为2013，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）（2022·四川攀枝花·七年级期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的个数有（   ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF=∠EBF，则AB平分∠DBF

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【详解】∵∠D=30°,∠BAC=45°,∠DEB=∠ACB=90°
∴∠DBE=90°−∠D=60°,∠ABC=90°−∠BAC=45°
如图1，当0°<∠CBE≤45°时
∠DBC+∠ABE=∠DBE+∠CBE+(∠ABC−∠CBE)
=∠DBE+∠ABC=105°
如图2，当45°<∠CBE<90°时
∠DBC+∠ABE=∠DBE+∠CBE+(∠CBE−∠ABC)
=60°+∠CBE+(∠CBE−45°)
=15°+2∠CBE
因此，∠DBC+∠ABE的角度不恒为105°，则①错误
如图1，当0°<∠CBE≤45°时
由角平分线的定义得∠ABM=12∠DBA=12(∠DBE−∠ABE)=30°−12∠ABE∠NBE=12∠EBC=12(∠ABC−∠ABE)=22.5°−12∠ABE
∴∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠NBE
=30°−12∠ABE+22.5°−12∠ABE+∠ABE=52.5°
如图2，当45°<∠CBE<90°时
由角平分线的定义得∠ABM=12∠DBA=12(∠DBE+∠ABE)=30°+12∠ABE∠NBE=12∠EBC=12(∠ABC+∠ABE)=22.5°+12∠ABE
∴∠MBN=∠ABM+∠NBE−∠ABE
=30°+12∠ABE+22.5°+12∠ABE−∠ABE=52.5°
因此，∠MBN的角度恒为定值52.5°，则②正确
∵0°<∠CBE<90°
∴BE边与三角板ABC的三边所在直线夹角不可能成90°
如图1，当0°<∠CBE≤45°时，设DE与AB的交点为F
∠BFE=90°−∠ABE=90°−(∠ABC−∠CBE)
=90°−(45°−∠CBE)
=45°+∠CBE
∵0°<45°+∠CBE≤90°，即0°<∠BFE≤90°
∵∠DBC=∠DBE+∠CBE=60°+∠CBE
∴60°<∠DBC≤105°
∵∠DBA=∠DBC−∠ABC=60°+∠CBE−45°=15°+∠CBE
∴15°<∠DBA≤60°
∴DE只与三角板ABC的AB边所在直线夹角成90°，次数为1次；DB只与三角板ABC的BC边所在直线夹角成90°，次数为1次
如图2，当45°<∠CBE<90°时，延长DE交AB于点F
∠BFE=90°−∠ABE=90°−(∠CBE−∠ABC)
=90°−(∠CBE−45°)
=135°−∠CBE
∵45°<135°−∠CBE<90°，即45°<∠BFE<90°
∵∠DBC=∠DBE+∠CBE=60°+∠CBE
∴105°<∠DBC<150°
∵∠DBA=∠DBC−∠ABC=60°+∠CBE−45°=15°+∠CBE
∴60°<∠DBA<105°
∴只有DB与三角板ABC的AB边所在直线夹角成90°，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次，则③错误
如图3，作∠DBF=∠EBF=12∠DBC=30°
∵∠ABD=∠DBC−∠ABC=60°−45°=15°∠ABF=∠ABC−∠EBF=45°−30°=15°
∴∠ABD=∠ABF，即AB平分∠DBF
如图4，作∠DBF=∠EBF=150°
显然AB不平分∠DBF，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故选：A．


【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据0°<∠CBE<90°正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·上海理工大学附属初级中学期末）x、y表示两个有理数，规定新运算“*”为：x*y＝3x+my，其中m为有理数，已知1*2＝5，则m的值为______．
【答案】1
【分析】根据规定的运算公式结合1*2＝5列出关于m的方程，解之即可．
【详解】解：根据题意知3+2m＝5，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是根据规定的运算公式及已知等式列出关于m的方程．
12．（3分）（2022·浙江·七年级单元测试）已知数轴上的点A，B表示的数分别为−2，4，P为数轴上任意一点，表示的数为x，若点P到点A，B的距离之和为7，则x的值为 _____．
【答案】−2.5或4.5
【分析】根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：根据题意得：|x+2|+|x-4|=7，
当x＜-2时，化简得：-x-2-x+4=7，解得：x=-2.5；
当-2≤x＜4时，化简得：x+2-x+4=7，无解；
当x≥4时，化简得：x+2+x-4=7，解得：x=4.5，
综上，x的值为-2.5或4.5．
故答案为：-2.5或4.5．
【点睛】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键．
13．（3分）（2022·福建泉州·七年级期末）已知a，b均是不为0的有理数，a<0，且b−a=a−b．请用不等号将a，b，−a，−b四个数由小到大排列_________．
【答案】b≤a<−a≤−b
【分析】根据相反数的性质可得，−a>0>a，再根据绝对值的性质可得b−a≥0，分b≥0和b<0两种情况，求解即可．
【详解】解：∵a<0
∴−a>0>a，a=−a
当b≥0时，a−b<0，
∴b=b，a−b=b−a
∵b−a=a−b
∴b+a=b−a，解得a=0，舍去
当b<0时，b=−b，b<0<−b
∵b−a=a−b
∴a−b=−b+a=a−b，b−a≥0，即b≥a，即−b≥−a
∴a−b≥0，即a≥b
∴b≤a<−a≤−b
故答案为：b≤a<−a≤−b
【点睛】此题考查了有理数大小的比较，绝对值和相反数的性质，解题的关键是熟练掌握有理数的有关性质．
14．（3分）（2022·黑龙江绥化·期末）一个立体图形，从正面和左面看到的形状如图．要搭这样的立体图形，至少要用________个小正方体，最多要用________个小正方体．

【答案】     5     9
【分析】根据从正面和左面看到的形状可知，该几何体下层前排4个小正方体，后排最少1个，最多4个；上层1个，放在下层前排的左起第二个正方体的上面．据此解答．
【详解】解：至少要用：4+1=5（个）；
最多要用：4+4+1=9（个）；
答：要搭这样的立体图形，至少要用6个小正方体，最多要用9个小正方体．
故答案为：5；9．
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力，空间想象能力．
15．（3分）（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）已知有理数a，b，c满足a+b+c=0，abc<0，若x=b+ca+a+cb+a+bc−1，则x3的值为________．
【答案】−8
【分析】根据有理数的加法和有理数的乘法运算法则判断出a、b、c中三个数中只有一个负数，然后根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：∵a+b+c=0，
∴a、b、c中三个数中既有正数又有负数，且b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c，
∵abc<0，
∴a、b、c中三个数中只有一个负数，
不妨设a<0，b>0，c>0，
∴|a|=−a，|b|=b，|c|=c，
∴x=b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|−1=−a−a+−bb+−cc−1=1−1−1−1=−2，
∴x3=(−2)3=−8．
故答案为：−8．
【点睛】本题考查有理数的加法法则，有理数的乘法法则及绝对值的性质；判断出负数的个数是本题的难点．
16．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+2b+3c+4d的最大值是______．
【答案】-11
【分析】由a+b=c，c+d=a，可得b+d=0，再由b+c=d可得2b+c=b+d=0，进而得出c=-2b，a=c-b=-3b，代入a+b+c+d=-5b，已知b是正整数，其最小值为1，于是a+2b+3c+4d=-11b的最大值是-11．
【详解】解：∵a+b=c①，
b+c=d②，
c+d=a③，
由①+③，得（a+b）+（c+d）=a+c，
∴b+d=0④，
b+c=d②；
由④+②，得2b+c=b+d=0，
∴c=-2b⑤；
由①⑤，得a=c-b=-3b，⑥
由④⑤⑥，得a+2b+3c+4d=-11b，
∵b是正整数，其最小值为1，
∴a+2b+3c+4d的最大值是-11．
故答案为：-11．
【点睛】本题主要考查整式的加减、等式的基本性质，根据已知等式变形成a、c、d全部用同一个字母b来表示是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·重庆市璧山区正兴初级中学校七年级期末）计算
(1)−58−16+712÷−124
(2)−12−(1−0.5)÷15×2−(−2)2
【答案】(1)5
(2)4

【分析】对于（1），将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，进一步计算即可；
对于（2），先计算乘方和括号内的运算，再计算乘法，最后计算加法即可．
【详解】（1）(−58−16+712)÷(−124)
=−58−16+712×−24
＝−58×−24−16×−24+712×−24
＝15+4−14
＝5；
（2）−12−(1−0.5)÷15×2−(−2)2
=−1−12×5×2−4
=−1−52×−2
=−1+5
=4．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数的混合运算法则和运算律是解题关键．
18．（6分）（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）（1）化简：53a2b−ab2−4−ab2+3a2b；
（2）化简：−2mn−3m2−m2−5mn−m2+2mn；
（3）先化简，再求值：2xy−125xy−16x2y2−2xy−4x2y2，其中x=−12，y=4．
【答案】（1）3a2b−ab2（2）mn（3）32xy，-3
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可；
（3）按去括号、合并同类项的顺序化简原式，再将x、y的值代入求值即可．
【详解】解：（1）原式=15a2b−5ab2+4ab2−12a2b
=3a2b−ab2；
（2）原式=−2mn+6m2−m2+5mn−5m2−2mn
=mn；
（3）原式=2xy−52xy−8x2y2−2xy+8x2y2
=2xy−12xy
=32xy
当x=−12，y=4时，原式=32×−12×4=−3．
【点睛】本题主要考查了整式的化简及整式化简求值的知识，熟练掌握去括号和合并同类项的方法是解题关键．
19．（8分）（2022·浙江杭州·七年级期末）老王到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层楼记作+1层，向下一层楼记作一1层，老王从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下(单位：层)：+6，−3，+10，−8，+12，−7，−10．
(1)请你通过计算说明老王最后是否回到出发点1楼；
(2)该中心大楼每层高3m，电梯每向上或向下1m需要耗电0.2度，根据老王现在所处位置，请你算算，他办事时电梯共耗电多少度？
【答案】(1)老王最后回到出发点1楼，见解析
(2)共耗电33.6度

【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；
（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．
【详解】（1）+6+−3++10+−8++12+−7+−10
=6−3+10−8+12−7−10
=28−28
=0
所以老王最后能回到出发点1楼；
（2）老王走过的路程是3×（+6+−3++10+−8++12+−7+−10）
=3×6+3+10+8+12+7+10
=3×56
=168（m），
168×0.2=33.6（度）．
故他办事时电梯需要耗电33.6度．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．
20．（8分）（2022·江西宜春·七年级期末）已知多项式A=x2+xy+3y，B=x2−xy．
(1)若x−22+y+5=0，求2A−B的值．
(2)若2A−B的值与y的值无关，求x的值．
【答案】(1)−56
(2)−2

【分析】（1）根据两个非负数的和为0，两个非负数分别为0，再进行化简求值即可求解；
（2）根据2A−B的值与y的取值无关，即为含y的式子为0即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
∵x−22+y+5=0，x−22≥0，y+5≥0，
∴x−2=0，y+5=0，
∴x=2，y=−5，
2A−B=2x2+xy+3y−x2−xy
=2x2+2xy+6y−x2+xy
=x2+3xy+6y
当x=2，y=−5时
原式=22+3×2×−5+6×−5=−56．
（2）解：由（1）可知：2A−B=x2+3xy+6y=x2+3x+6y，
∵2A−B的值与y的值无关，
∴3x+6=0，
∴x=−2．
【点睛】本题考查了整式的化简求值、非负数的性质，解决本题的关键是与y的值无关即是含y的式子为0．
21．（8分）（2022·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：

月使用费
主叫限定时间（分钟）
主叫超时费（元／分钟）
被叫
方式一
65
160
0.20
免费
方式二
100
380
0.25
免费

   （月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；
(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
【答案】(1)73，100，420
(2)存在，t=335或560分钟
(3)每月通话时间小于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱

【分析】（1）根据“方式一”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，“方式二”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，主叫通话时间为x分钟，根据按方式二计费需110元列出方程，解方程即可；
（2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：①t⩽160；②160380；
（3）根据（2）所求即可得出结论．
（1）
解：若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需：65+0.20×(200−160)=73（元)，
设按方式二计费需100元，
设主叫通话时间为x分钟，根据题意得
100+0.25(x−380)=110，
解得x=420．
答：主叫通话时间为420分钟．
故答案为73，100；420；
（2）
解：①当t⩽160时，不存在；
②当160 65+0.20×(t−160)=100，
解得t=335，符合题意；
③当t>380时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，
65+0.20×(t−160)=100+0.25(t−380)，
解得t=560，
故存在某主叫通话时间t=335或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；
（3）
解：结合（2）知，当通话时间t=335或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；
当每月通话时间少于335分钟时，65+0.20×(t−160)<100，故选择方式一省钱；
当每月通话时间大于560分钟时，65+0.20×(t−160)<100+0.25(t−380)，故选择方式一省钱；
当每月通话时间多于335分钟且小于560分钟时，65+0.20×(t−160)>100+0.25(t−380)故选择方式二省钱．
综上所述：当每月通话时间少于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22．（8分）（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】
(1)填空：A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　；
(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)求当t为何值时，PQ＝12AB；
(4)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】(1)10，3
(2)t＝2，相遇点表示的数为4
(3)t＝1或3
(4)不变，5

【分析】（ 1）根据题意即可得到结论；
（2 ）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3 ）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4 ）由点M表示的数为  −2+−2+3t2＝ 3t2﹣2，点N表示的数为  8+−2+3t2＝ 3t2+3，即可得到结论．
【详解】（1）解：A、B两点间的距离AB＝|﹣2﹣8|＝10，线段AB的中点表示的数为：8−22＝3．
故答案是：10，3；
（2）解：∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）解：∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又∵PQ＝ 12AB＝ 12×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，PQ＝ 12AB；
（4）解：MN的长度不变，理由如下：
∵点M表示的数为   −2+−2+3t2＝ 3t2﹣2，
点N表示的数为   8+−2+3t2＝ 3t2+3，
∴MN＝|（ 3t2﹣2）﹣（ 3t2+3）|＝| 3t2﹣2﹣ 3t2﹣3|＝5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
23．（8分）（2022·浙江·七年级专题练习）如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．

(1)如图，若∠AOB=60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．
①当t=2秒时，OC______∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转β，且0<β<α<180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)①是；②6或12或8
(2)存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由见解析，α与β应满足的数量关系为：α=90°或3α+β=360°或3α−β=180°

【分析】（1）①设∠BOC=15t，当t=2时，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合题意．
②设∠BOC=15t，则OA分成的三个角为∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分类计算即可．
（2）运用定义和分类思想计算即可．
【详解】（1）①当t=2时，OC在∠AOB内部，且∠BOC=2×15°=30°，
∴∠AOB=2∠BOC，
∴OC是∠AOB的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当OA在∠BOC内部且∠AOB=2∠AOC时，

∠AOC=30°，
∴∠BOC=90°，
∴t=90÷15=6；
（Ⅱ）当OA在∠BOC内部且∠AOC=2∠AOB时，如图：

∴∠AOC=120°，
∴∠BOC=180°，
∴t=180÷15=12；
（Ⅲ）当OA在∠BOC内部且∠BOC=2∠AOC=2∠BOC时，如图：

∴∠BOC=120°，
∴t=120÷15=8，
综上所述，t的值为6或12或8；
（2）存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由如下：
（2）存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：

由已知可得：∠BCD=90°−β，∠BCE=12∠ACB=12(180°−α−β)=90°−12α−12β，
∴∠DCE=∠BCD−∠BCE=(90°−β)−(90°−12α−12β)=12α−12β，
当∠BCD=2∠BCE时，如图：

90°−β=2(90°−12α−12β)，
∴α=90°，
当∠DCE=2∠BCE时，如图：

∴ 12α−12β=2(90°−12α−12β)，
整理得：3α+β=360°，
当∠BCE=2∠DCE时，如图：

∴90°−12α−12β=2(12α−12β)，
整理得3α−β=180°，
综上所述，α与β应满足的数量关系为：α=90°或3α+β=360°或3α−β=180°．
【点睛】本题考查了新定义角的计算问题，正确理解定义，熟练掌握分类计算的标准是解题的关键．