中职数学高教版（2021）基础模块上册第4章 三角函数4.5 诱导公式教案及反思

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授课题目

4.5 诱导公式
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
4 课时
授课
类型
新授课


教学提示
本课将从具有特殊位置关系的角出发，借助单位圆和三角函数的定义得到诱导公式，通过例题，学习诱导公式在三角函数求值与化简中的作用，以及用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单的化简与证明
的一般过程和常用方法．




教学目标
知道角 2kp＋α、−α、p＋α、p－α 与角 α 的终边之间的关系，能利用这些角终边之间的关系推导它们的三角函数值的关系，逐步提升逻辑推理等核心素养；能利用诱导公式将任意角的三角函数化为 0～2π 进而化为锐角的三角函数求解，对某些三角函数值进行求值、化简及简单的证明，可以利用计算器求任意角三角函数值，逐步提升数学运算等核心
素养.
教学
重点
能运用诱导公式解决一些简单的求值、化简、证明等问题．
教学
难点
诱导公式的推导．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图

p 13p p 7p 5p
角分别与 、- 、 、 角的正弦、
6 6 6 6 6
余弦和正切之间有什么关系？


p 13p
角与 角是终边相同的角，而终边相
6 6
同角的同一三角函数的值相等，因此
sin 13p = sin p ， cos 13p = cos p ，
6 6 6 6


展示角

提问
思考
的特殊



位置关



系帮助



学生更
情境


加直观
导入


考虑问

展示
观察
题为后



续公式



推导和



分析做



好准备



tan 13p = tan p ；
6 6
p p
角与- 角的终边关于 x 轴对称，由三角
6 6
函数的单位圆定义可得，

sin æ- p ö = - sin p , cos æ - p ö = cos p ,
ç 6 ÷ 6 ç 6 ÷ 6
è ø è ø

tan æ - p ö = - tan p ；
ç 6 ÷ 6
è ø
p 7p
角与 角的终边关于原点中心对称，由
6 6
三角函数的单位圆定义可得，
sin 7p = -sin p ， cos 7p = - cos p ，
6 6 6 6
tan 7p = tan p ；
6 6
p 5p
角与 角的终边关于 y 轴对称，由三角
6 6
函数的单位圆定义可得，
sin 5p = sin p ， cos 5p = - cos p ，
6 6 6 6
tan 5p = - tan p ．
6 6


启发


作答


数形结


合考虑


问题，渗
引导
交流
透直观


想象核
提示
观察
心素养
从角
分析

的位
角的

置关
特殊

系考
位置

虑问
关系

题
下终


边上


点的


坐标


关系


借助单位圆的对称性进一步研究任意角的正弦、余弦和正切值之间的关系．
1.角 2kp＋a (kÎZ)与角a 的三角函数值之间的关系
由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等．即
sin(2kp+a)＝sina， cos(2kp+a)＝cosa， tan(2kp+a)＝tana．
由公式可以将任意角的三角函数值转化为
[0,2π）内的角的三角函数值．
2.角−a 与角a 的三角函数值之间的关系


结合单



位圆和

讲解
理解
三角函



数定义



对几组
探索
说明
思考
公式中
新知


的角数



的位置

分析
理解
关系以



及终边



上与单



位圆交



设角 α 和角−α 的终边与单位圆的交点分别是点 P 和 P¢,则点 P 和 P¢的坐标分别为(cos α,sin
α)与(cos(−α)，sin(−α))．


因为角 α 的终边与角−α 的终边关于 x 轴对称，所以点 P 和 P′关于 x 轴对称，因此它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即
cos(−α)＝cosα，sin(−α)＝−sinα． 又由同角三角函数间的基本关系式，有
sin (-a ) - sin a
tan (-a ) = = = - tan a .
cos (-a ) cos a
于是得到
sin(−α)＝−sinα， cos(−α)＝cosα， tan(−α)＝−tanα．
由公式可将负角的三角函数转化为正角的三角函数.
3.角p＋α 与角 α 的三角函数值之间的关系
设角 α 的终边与角p＋α 的终边与单位圆的交点分别为点 P 和 P¢，如图 4-23，则点 P 和 P¢ 的坐标分别为(cosα，sinα)与(cos(π＋α),sin(π＋ α))．


点坐标


的关系


进行分


析，学生


通过观
讲解
观察
察、分析


和比较


可以自


己得出


诱导公
说明
思考
式，体验


知识探


索的全
提问
思考
过程，同
引导
交流
时可以


加深对


公式本


身的理


解
讲解
思考



四组公


式采用


不同的


方法进
展示
观察
行推导，


帮助学


生学会


多角度


思考问





因为角 α 的终边与角 π＋α 的终边关于原点 O 中心对称，所以点 P 和 P¢关于原点 O 中心对称，因此它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即
cos(π＋α)＝−cos α，sin(π＋α)＝−sin α． 又由同角三角函数间的基本关系式，有
sin (p+a ) - sin a
tan (p+a ) = = = tan a .
cos (p+a ) - cos a
于是得到
sin(π+a)=−sina； cos(π+a)=−cosa； tan(π+a)=tana.
由公式可将可将角p＋α 的三角函数转化为角 α 的三角函数．
4.角p−α 与角 α 的三角函数值之间的关系利用前面公式 2，3 可以得到：
sin(p−α)＝sin[π+(−α)]= −sin(−α) =− (−sinα) = sinα；
cos(p−α)＝cos[π+(−α)]= −cos(−α) =−cosα； tan(p−α)＝tan[π+(−α)]= tan(−α) =−tanα．
即
sin(p−α)＝sinα， cos(p−α)＝−cosα，



说明



思考
题
逐步提升数学运算核心素养



tan(p−α)＝−tanα.
由公式可将角p−α 的三角函数转化为角 α
的三角函数．
这些都三角函数的诱导公式，利用这些公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算.




例 1 求下列各三角函数值：

(1)sin780°； (2) cos 9p ； (3) tan æ - 11p ö ．
4 ç 6 ÷
è ø
解
(1)sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝ 3 ；
2
(2) cos 9p = cos æ 2p+ p ö = cos p = 2 ；
4 ç 4 ÷ 4 2
è ø

(3) tan æ - 11p ö = tan æ -2p+ p ö = tan p = 3 ．
ç 6 ÷ ç 6 ÷ 6 3
è ø è ø
例 2 求下列各三角函数值：
(1)sin(-60°)； (2) cosæ - p ö ；
ç 4 ÷
è ø
(3)tan(-30°)； (4) tan 11p ．
6
解 (1)sin(-60°)＝-sin60° ＝- 3 ，
2
(2) ，
(3)

(4)
例 3 求下列各三角函数值：
(1) sin 7p ； (2) cos(-240°)；
6
(3) tan210°； (4) cos 13p ．
4
提问
思考
巩固终



边相同

引导
分析
角的三



角函数

讲解
解决
值之间



的关系

强调
交流
巩固终



边关于



x 轴对

提问
思考
称角的



三角函
例题
辨析
引导
分析
数值之



间的关

讲解
解决
系


强调

交流

巩固终



边关于



原点对



称角的



三角函



数值之

提问
思考
间的关



系



解 (1) sin 7p = sin æ p+ p ö = - sin p = - 1 ；
6 ç 6 ÷ 6 2
è ø
(2) cos(−240°)＝cos 240°＝cos (180°＋60°)

＝−cos 60°＝ - 1 ；
2
(3)
(4) cos13p = cos(2p + 5p) = cos 5p = cos(p + p) 4 4 4 4
= - cos p =- 2 .
4 2
例 4 求下列各三角函数值：

(1) sin æ - 9p ö ； (2) tan495°； (3) cos 5p ．
ç 2 ÷ 6
è ø
解 ；
(2)tan495°=tan(360°+135°)=tan135°=tan(180°
−45°)=− tan45°=−1；
(3)
例 5 化简 sin(p+ a ) .
cos(p- a ) tan(3p- a )

sin(p+ a ) - sin a
解 =
cos(p- a ) tan(3p - a ) (- cos a )(- tan a )

= - sin a = -1. cosa × sin a
cosa
探究与发现

把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤是什么？
可以结合-750°、225°、510°举例说明.


引导


分析



讲解


解决


巩固终


边关于


y 轴对
强调
交流
称角的


三角函
提问
思考
数值间


的关系
引导
分析
综合运


用诱导
讲解
解决
公式和


同角三
强调
交流
角函数


关系式
提问
思考
帮助学


生灵活
引导
分析
运用知


识
讲解
解决


强调

交流


提问

思考

提示
回答

探索新知
在实际问题中，经常利用科学型计算器求任意角的三角函数值．
讲解
观看
强调信息学习



用科学型计算器计算任意角的三角函数值的主要步骤是：
设置模式(角度制或弧度制)→按键 sin(或
按键 cos、tan)→输入角的大小→按键=显示结果．
演示说明
模仿操作
工具的使用

例 6 利用科学型计算器，求下列各三角函数值
(保留到小数点后第三位).
(1) sin 2p ； (2) tan47.6°．
7
解 (1)将科学型计算器设为弧度制模式： SHIFT→MODE SETUP→4；
输入函数名，输入角，得到计算结果： sin→(→2→SHIFT→×10x→÷→7→)→=， 显示结果 0.7818314825.
2p
因此， sin ≈0.7818．
7
(2)将科学型计算器设为角度制模式： SHIFT→MODE SETUP→3；
输入函数名，输入角，计算结果：
tan→4→7→.→6→=， 显示结果 1.095139739.
因此 tan47.6°≈1.0951．
提问
思考
学习一



般流程



体会利



用科学

示范
模仿
型计算

说明
操作
器可以



方便地
例题


计算任
辨析


意角的



三角函

说明
注意
数值

注意
操作
体验信

事项
规范
息技术



应用

练习 4.5
1．利用诱导公式求下列各三角函数值：
(1)cos 9p ； (2) tan 10p ；
4 3
(3) cos570°； (4) sin 13p ；
4
(5)tan (−315°); (6) sinæ - 25p ö ;
ç 4 ÷
è ø
(7) sin840°； (8) cos 77p ．
6
2. 将下列三角函数转化为æ 0 p ö 内角的三
ç , ÷
è 2 ø


提问


思考


通过练



习及时

巩固练习


掌握学生的知



识掌握



情况，查



漏补缺



角函数：

(1) cos(1+p) ； (2) sin 13p ； (3) tanæ - p ö ．
7 ç 5 ÷
è ø
3．化简：
(1) sin(180°−α)cos(−α)tan(180°＋α)；
cos (p- a ) tan (a - 2p) tan (p + a )
(2) .
sin (p+ a )
4．利用科学型计算器，求下列各三角函数值（精确到 0.0001）：
(1)sin25°； (2) cos 3p ；
11

(3)tan70°21′； (4) sin æ - 4p ö ．
ç 7 ÷
è ø
巡视










指导
动手求解








交流




引导
回忆
培养学

归纳总结


提问


反思
生总结学习过



程能力

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回


究
作业
顾;


延伸学

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.


习