中职数学基础模块上册4-7余弦函数的图像和性质教案

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授课题目 4.7  余弦函数的图像和性质选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长2 课时授课类型新授课 教学提示本课通过类比正弦函数的图像和性质，学习余弦函数的图像和性质，借助代数运算与几何直观，认识余弦函数的图像与性质，学习运用“五点法”可以画出余弦函数在一个周期上的简图．     教学目标学会借鉴正弦函数的图像与性质的研究方法，研究余弦函数的图像与性质，能根据余弦曲线理解余弦函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，逐步提升逻辑推理等核心素养；能用“五点法”作出余弦函数在［0，2π］上的图像；逐步提升直观想象等核心素养；能根据余弦函数的性质解决简单的相关问题，逐步提升逻辑推理和直观想象等核心素养．教学重点余弦函数的性质．教学难点用五点作图法作出函数在一个周期内的图像．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图    情境导入我们用描点法作出了正弦函数 y＝sinx  在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)得到了正弦函数 y＝ sinx, x∈R 的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数 y＝cosx, x∈R,  可否用同样的方法来研究？  提问启发引导  思考作答交流通过类比强调知识间的联系    探索新知用描点法作出余弦函数 y＝cosx  在 [0,2π]上的图像.(1)列表.把区间[0,2π]分成 12 等份, 分别求出函数 y=cosx 在各分点及区间端点的正弦函数值.讲解理解数形结合说明问题
 (2)描点作图.根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x, y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数 y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.        不难看出，下面五个点 (0,1)，   ,0  ， ，1 ，   ，0  ， ，1 , 2   2    是确定余弦函数 y＝cosx 在[0,2π]上的图像的关键点．因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图．由诱导公式 cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知， 将函数y＝cosx 在[0,2π]上的图像沿 x 轴向左或向右平移 2π，4π，…，就得到了余弦函 y＝cos x，x∈ R 的图像．余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．    将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内，可以看出：把正弦函数 y＝     学生通   过观察   思考参   与知识   形成过 助观察程感受 形图形探索和 明思考发现的   乐趣   强调函 讲解领会数周期   性在余   弦函数   作图中 说明理解的重要   作用讲解    借助  图形思考 说明      多角度
 sinx，x∈R 的图像向左平移 个单位长度，就得2到余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图像． 温馨提示 若将正弦函数 y＝sinx, x∈R 的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数 y＝cos x, x∈R 的图像, 如果是, 需平移多少？ 观察余弦曲线，类比正弦函数 y＝sinx，x∈R 的性质，得到余弦函数 y＝cos x，x∈R 的性质：(1)定义域.余弦函数的定义域是实数集 R.(2) 值域. 余弦函数的值域是[-1,  1]. 当x=2kπ(k∈Z)时, y 取最大值, ymax=1;当 x=π+2kπ(k∈Z)时, y 取最小值, ymin=1.(3)周期性.余弦函数是周期为 2π 的周期函数．(4)奇偶性.由图像关于 y 轴对称和诱导公式cos(−x)=cosx 可知, 余弦函数是偶函数．(5) 单调性.余弦函数 y＝cos x 在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1 增大到 1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是减函数, 函数值从 1 减小到-1．  思考问  观察题 图形类比正  理解弦函数   知识强   调知识 提出 之间的 问题 联系，用  已有知  思考识解决 引导交流新问题 讲解   理解  举例 思考    交流  总结  结论    理解  记忆  例题辨析例 1 利用五点法作出函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图像． 解 (1)列表.提问思考强化“五点法”作余弦函
 (2)根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图像.例 2 求函数 y＝3cosx＋1 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时 x 的集合．解 由余弦函数的性质知，-1≤cosx≤1  ，所以，-3 ≤ 3cosx ≤ 3 ，从而 -2 ≤ 3cosx+1 ≤ 4 ，即-2≤y≤4．故函数的最大值为 4，最小值为-2．函数 y＝3cosx＋1 取最大值时的 x 的集合， 就是函数 y=cosx 取最大值时的 x 的集合{x|x=2kπ, k∈Z}函数 y＝3cosx＋1 取最小值时的 x 的集合， 就是函数 y=cosx 取得最小值时的 x 的集合{x|x=2kπ+π, k∈Z}．例 3 不求值，比较下列各组数值的大小：(1)  cos  与cos  ；5 5(2)  cos     与cos     ．  10   8    解 根据余弦函数的图像和性质可知：引导分析数图像  讲解  解决   强调  交流   余弦函   数性质   的简单   应用提问思考   引导  分析   讲解  解决   初步尝   试利用 强调交流余弦函   数图像   和性质   解决问 提问思考题  引导  分析 
 (1)因为0  2  4   ，余弦函数 y=cosx5 5在区间[0, π]上是减函数，所以cos   cos  ；5 5(2)因为        ，余弦函数  8 10y=cosx 在区间[-π，0]上是增函数，所以cos      cos       10   8      讲解    强调  解决    交流  练习 4.71. 用五点法作出函数 y=cosx-1 在[0, 2π]上的图像．2．求下列函数的最大值、最小值，及取得最大值、最小值时 x 的集合：(1) y=2cosx-1 ； (2) y   1 cos x ．23．不求值，比较下列各组数的大小：(1) cos  与cos  ；7 7(2)  cos     与cos     ． 8   7      提问  思考  及时掌    握学生    的知识    掌握情 巩固练习巡视动手况，查漏  求解补缺   指导  交流   引导回忆培养学 归纳  生总结 总结提问反思学习过    程能力 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；说明记录继续探 布置2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回  究作业顾;  延伸学  3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.  习