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(新高考)高考数学一轮复习讲练测第3章第2讲　函数的单调性与最值 (2份打包，原卷版+教师版)

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这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲练测第3章第2讲　函数的单调性与最值 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习讲练测第3章第2讲函数的单调性与最值原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲练测第3章第2讲函数的单调性与最值原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲练测第3章第2讲函数的单调性与最值教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲练测第3章第2讲函数的单调性与最值教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共48页，欢迎下载使用。

第2讲　函数的单调性与最值

一、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
[注意]　有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增.
(2)<0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
二、教材衍化
1.函数f(x)＝x2﹣2x的单调递增区间是________.
答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))
2.若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜﹣.
答案：(﹣∞,﹣).
3.已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________.
解析：可判断函数f(x)＝在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(﹣1) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(﹣∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(4)所有的单调函数都有最值.(　　)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.(　　)
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
二、易错纠偏
常见误区(1)求单调区间忘记定义域导致出错；
(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错.
1.已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A.(﹣∞，1] B.[3，＋∞) C.(﹣∞，﹣1] D.[1，＋∞)
解析：选B.设t＝x2﹣2x﹣3，由t≥0，即x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3.所以函数的定义域为(﹣∞，﹣1]∪[3，＋∞).因为函数t＝x2﹣2x﹣3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(﹣∞，﹣1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞).
2.若函数f(x)＝x2﹣2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________.
解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.
答案：(﹣∞，2]

考点一　确定函数的单调性(区间)(基础型)
通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义.
核心素养：数学抽象
角度一　判断或证明函数的单调性
(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(﹣1，1)上的单调性.
【解】　法一：设﹣1 f(x1)﹣f(x2)＝a﹣a＝，由于﹣1 所以x2﹣x1>0，x1﹣1<0，x2﹣1<0，
故当a>0时，f(x1)﹣f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(﹣1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)﹣f(x2)<0，即f(x1) 法二：f′(x)＝＝＝﹣.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(﹣1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(﹣1，1)上单调递增.

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

[注意]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.

角度二　利用函数图象求函数的单调区间
求函数f(x)＝﹣x2＋2|x|＋1的单调区间.
【解】　f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(﹣∞，﹣1]和(0，1]，单调递减区间为(﹣1，0]和(1，＋∞).

【迁移探究】(变条件)若本例函数变为f(x)＝|﹣x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|﹣x2＋2x＋1|的图象如图所示.由图象可知，函数y＝|﹣x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1﹣，1]和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(﹣∞，1﹣]和(1，1＋].

确定函数的单调区间的方法

[注意]　(1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(﹣∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.
(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.

1.函数y＝|x|(1﹣x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　)
A.(﹣∞，0) B.[0,] C.[0，＋∞) D.(,+∞)
解析：选B.y＝|x|(1﹣x)＝＝
＝画出函数的草图，如图.

由图易知原函数在[0,]上单调递增.
2.下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0”的是(　　)
A.f(x)＝2x B.f(x)＝|x﹣1| C.f(x)＝﹣x D.f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C.由(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x﹣1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝﹣x，因为y＝与y＝﹣x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
3.判断函数y＝的单调性.
解：因为f(x)＝＝2x﹣，且函数的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，
而函数y＝2x和y＝﹣在区间(﹣∞，0)上均为增函数，
根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x﹣在区间(﹣∞，0)上为增函数.
同理，可得f(x)＝2x﹣在区间(0，＋∞)上也是增函数.
故函数f(x)＝在区间(﹣∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数.
考点二　函数的最值(值域)(基础型)
理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值.
核心素养：逻辑推理
(1)(一题多解)函数y＝x＋的最小值为________.
(2)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________.
【解析】　(1)法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝(t+)2＋，又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.
(2)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
【答案】　(1)1　(2)[4，＋∞)

求函数最值的五种常用方法
　

1.函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
所以即所以所以a＋b＝6.
答案：6
2.(一题多解)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝﹣x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象如图所示.易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.

法二：依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x＞2时，h(x)＝3﹣x是减函数，
所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1.
答案：1
考点三　函数单调性的应用(综合型)
利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性.
角度一　比较两个函数值
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)<0恒成立，设a＝f(-)，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称.由此可得f(-)＝f().当x2>x1>1时，
[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减.
因为1<2<f()>f(e)，所以b>a>c.
【答案】　D
比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
角度二　解函数不等式
已知函数f(x)＝﹣x|x|，x∈(﹣1，1)，则不等式f(1﹣m) 【解析】　由已知得f(x)＝则f(x)在(﹣1，1)上单调递减，
所以解得0 【答案】　(0，1)

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.

角度三　求参数的值或取值范围
(1)已知函数f(x)＝x﹣＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.　
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.　
【解析】　(1)设11.因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)﹣f(x2)＝x1﹣＋﹣＝(x1﹣x2)(1＋)<0.
因为x1﹣x2<0，所以1＋>0，即a>﹣x1x2.
因为11，所以﹣x1x2<﹣1，所以a≥﹣1.
所以a的取值范围是[﹣1，＋∞).

(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
【答案】　(1)[﹣1，＋∞) (2)(﹣∞，1]∪[4，＋∞)

利用单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

1.已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1) A.(,) B.[,) C.(,) D.[,)
解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x﹣1)
2.函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列结论成立的是(　　)
A.f(1) 解析：选B.因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4﹣x)，
所以f()＝f()，f()＝f().又0<<1<<2，
f(x)在[0，2]上单调递增，所以f() 3.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________.
解析：由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[﹣,+∞)，令﹣＝3，得a＝﹣6.
答案：﹣6

[基础题组练]
1.下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A.f(x)＝3﹣x B.f(x)＝x2﹣3x C.f(x)＝﹣ D.f(x)＝﹣|x|
解析：选C.当x>0时，f(x)＝3﹣x为减函数；
当x∈(0,)时，f(x)＝x2﹣3x为减函数，当x∈(,+∞)时，f(x)＝x2﹣3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝﹣为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝﹣|x|为减函数.
2.函数f(x)＝﹣x＋在[-2,-]上的最大值是(　　)
A. B.﹣ C.﹣2 D.2
解析：选A.函数f(x)＝﹣x＋的导数为f′(x)＝﹣1﹣，则f′(x)<0，可得f(x)在[-2,-]上单调递减，即f(﹣2)为最大值，且为2﹣＝.
3.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A.(﹣1，1) B.(0，1)
C.(﹣1，0)∪(0，1) D.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)
解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，
得即所以﹣1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.
4.(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A.对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B.对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)　
C.对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1﹣x2<0，都有f(x1)﹣f(x2)<0
D.对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1﹣x2<0，都有f(x1)﹣f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)﹣f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意.
5.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a A.﹣1 B.1 C.6 D.12
解析：选C.由题意知当﹣2≤x≤1时，f(x)＝x﹣2，当1 6.函数f(x)＝|x﹣2|x的单调减区间是________.
解析：由于f(x)＝|x﹣2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1，2].
答案：[1，2]
7.函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________.
解析：函数y＝2＋＝2＋，可得当x＝2时，函数y取得最大值2＋2＝4；由4x﹣x2≥0，可得0≤x≤4，令t＝﹣x2＋4x，则t在[0，2]上为增函数，y﹣2＋在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y＝2＋的单调递增区间为[0，2].
答案：4　[0，2]
8.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，﹣3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式﹣3 解析：由函数f(x)是R上的增函数，A(0，﹣3)，B(3，1)是其图象上的两点，知不等式﹣3 答案：(﹣1，2)
9.已知函数f(x)＝﹣(a>0，x>0).
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在[,2]上的值域是[,2]，求a的值.
解：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)﹣f(x2)＝﹣﹣＋＝，因为x1>x2>0，
所以x1﹣x2>0，x1x2>0，
所以f(x1)﹣f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(2)由(1)可知，f(x)在[,2]上为增函数，
所以f()＝﹣2＝，
f(2)＝﹣＝2，解得a＝.
10.已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝﹣2，试证明f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
解：(1)证明：设x1 则f(x1)﹣f(x2)＝﹣＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1﹣x2<0，
所以f(x1) 所以f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增.
(2)设1 则f(x1)﹣f(x2)＝﹣＝.
因为a>0，x2﹣x1>0，所以要使f(x1)﹣f(x2)>0，
只需(x1﹣a)(x2﹣a)>0恒成立，
所以a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0，1].
[综合题组练]
1.已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(﹣∞，3] B.(﹣∞，3) C.(3，＋∞) D.[1，3)
解析：选D.由(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]>0，得(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0，
所以函数f(x)在R上单调递减，
所以解得1≤a＜3.故选D.
2.(多选)若函数f(x)满足条件：
①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0；
②对于定义域内任意x1，x2都有f()≥成立.
则称其为G函数.下列函数为G函数的是(　　)
A.f(x)＝3x＋1
B.f(x)＝﹣2x﹣1
C.f(x)＝x2﹣2x＋3
D.f(x)＝﹣x2＋4x﹣3，x∈(﹣∞，1)
解析：选AD.①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0，则函数f(x)在定义域为增函数；②对于定义域内任意x1，x2都有f()≥成立，则函数f(x)为“凸函数”.
其中A.f(x)＝3x＋1在R上为增函数，且f()＝，故满足条件①②；
B.f(x)＝﹣2x﹣1在R上为减函数，不满足条件①；
C.f(x)＝x2﹣2x＋3在(﹣∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；
D.f(x)＝﹣x2＋4x﹣3的对称轴为x＝2，故函数f(x)＝﹣x2＋4x﹣3在(﹣∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.
综上，为G函数的是AD.
3.设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________.
解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x﹣a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”.要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，
所以a的取值范围是0≤a≤2.
答案：[0，2]
4.(创新型)如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)＝x2﹣x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________.
解析：因为函数f(x)＝x2﹣x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x﹣1＋，令g(x)＝x﹣1＋(x≥1)，则g′(x)＝﹣＝，
由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x﹣1＋在区间[1， ]上单调递减，故“缓增区间”I为[1， ].
答案：[1， ]
5.已知函数f(x)＝x2＋a|x﹣2|﹣4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x﹣2|﹣4＝＝，
当x∈[0，2)时，﹣1≤f(x)<0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为﹣1.
(2)因为f(x)＝，
又f(x)在区间[﹣1，＋∞)上单调递增，
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则﹣≤2，即a≥﹣4.
当﹣1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤﹣1.
即a≤﹣2，且4＋2a﹣2a﹣4≥4﹣2a＋2a﹣4恒成立，
故a的取值范围为[﹣4，﹣2].

6.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)﹣f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝﹣1，求f(x)在[2，9]上的最小值.
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)﹣f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f()<0，即f(x1)﹣f(x2)<0，
因此f(x1) 所以函数f(x)在区间上是单调递减函数.
(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)，
由f()＝f(x1)﹣f(x2)得f(3)＝f(9)﹣f(3)，而f(3)＝﹣1，
所以f(9)＝﹣2.
所以f(x) 在[2，9]上的最小值为﹣2.