(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第3章 第8讲　函数与方程 (2份打包，原卷版+教师版)

第8讲　函数与方程

一、知识梳理

1.函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

2.函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

常用结论

有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

二、教材衍化

1.已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)

A.2个        B.3个     C.4个        D.5个

2.函数f(x)＝ln x﹣的零点所在的大致范围是(　　)

A.(1，2)        B.(2，3)    C.(，1)和(3，4)        D.(4，＋∞)

3.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.　(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2﹣4ac<0时没有零点.　(　　)

(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.(　　)

二、易错纠偏

(1)忽略限制条件致误；

(2)错用零点存在性定理致误.

1.函数f(x)＝(x﹣1)ln(x﹣2)的零点个数为(　　)

A.0        B.1       C.2        D.3

2.已知函数f(x)＝2ax﹣a＋3，若∃x0∈(﹣1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________.

考点一　函数的零点(基础型)

复习指导结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系.

核心素养：数学运算、直观想象

角度一　函数零点所在区间的判断

函数f(x)＝log3x＋x﹣2的零点所在的区间为(　　)

A.(0，1)        B.(1，2)      C.(2，3)        D.(3，4)

判断函数零点所在区间的方法

1.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)＋(x﹣b)(x﹣c)＋(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间(　　)

A.(a，b)和(b，c)内          B.(﹣∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内       D.(﹣∞，a)和(c，＋∞)内

2.设f(x)＝3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

A.[0，1]        B.[1，2]      C.[﹣2，﹣1]        D.[﹣1，0]

角度二　函数零点个数的判断

函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A.3        B.2          C.1        D.0

判断函数零点个数的3种方法

(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

1.已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)

A.0        B.1         C.2        D.3

2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x﹣3，则f(x)的零点个数为(　　)

A.1        B.2        C.3        D.4

考点二　函数零点的应用(综合型)

复习指导求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数.

(1)函数f(x)＝x2﹣ax＋1在区间(，3)上有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A.(2，＋∞)      B.[2，＋∞)      C.[2，)          D.[2，)

(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______.

1.函数f(x)＝2x﹣﹣a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1，3)        B.(1，2)       C.(0，3)        D.(0，2)

2.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是________.

3.若函数f(x)＝4x﹣2x﹣a，x∈[﹣1，1]有零点，则实数a的取值范围是________.

[基础题组练]

1.函数f(x)＝(x2﹣1)·的零点个数是(　　)

A.1        B.2        C.3        D.4

解析：选B.要使函数有意义，则x2﹣4≥0，解得x≥2或x≤﹣2.由f(x)＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝﹣2.所以函数的零点个数为2.故选B.

2.函数y＝x﹣4·()x的零点所在的区间是(　　)

A.(0，1)        B.(1，2)     C.(2，3)        D.(3，4)

3.函数f(x)＝2x﹣零点的个数为(　　)

A.0        B.1     C.2        D.3

4.已知函数f(x)＝x2﹣2|x|﹣m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)

A.(﹣1，0)        B.{﹣1}∪(0，＋∞)

C.[﹣1，0)∪(0，＋∞)        D.(0，1)

5.(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)

A.ln x＝1﹣x        B.ex＝      C.2﹣x2＝lg |x|        D.cos x＝|x|＋1

6.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________.

7.设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x﹣a，若x∈(﹣1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为________.

8.已知f(x)＝x2＋(a2﹣1)x＋(a﹣2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________.

9.设函数f(x)＝ax2＋bx＋b﹣1(a≠0).

(1)当a＝1，b＝﹣2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)﹣f(x)＝2x﹣1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)﹣mx的两个零点分别在区间(﹣1，2)和(2，4)内，求m的取值范围.

[综合题组练]

1.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x﹣的零点依次为a，b，c，则(　　)

A.a<b<c        B.c<b<a     C.c<a<b        D.b<a<c

2.(多选)(综合型)已知函数f(x)＝|x2﹣2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)

A.若a2﹣b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数

B.存在a∈R，使得f(x)为偶函数

C.若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称

D.若a2﹣b﹣2＞0，则函数h(x)＝f(x)﹣2有2个零点

3.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________.

4.设函数f(x)＝

(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.

5.设函数f(x)＝|1-|(x>0).

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围.

6.(综合型)已知函数f(x)＝﹣x2﹣2x，

g(x)＝

(1)求g[f(1)]的值；

(2)若方程g[f(x)]﹣a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围.