(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第4章 第4讲　第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题 (2份打包，原卷版+教师版)

第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题

考点一　分离参数法(综合型)

已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2﹣x＋2.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围.

(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.

(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

已知函数f(x)＝axex﹣(a＋1)(2x﹣1).

(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

考点二　分类讨论法(综合型)

已知函数f(x)＝ln x﹣ax，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.

已知函数f(x)＝(x＋a﹣1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数.

(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

考点三　等价转化法(综合型)

设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3﹣x2﹣3.

(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s，t∈[,2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.

(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化.

(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题.

　已知函数f(x)＝ax＋x2﹣xln a(a>0，a≠1).

(1)求函数f(x)的极小值；

(2)若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.

[基础题组练]

1.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[,1]，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤1         B.a≥1      C.a≤2         D.a≥2

2.设函数f(x)＝ex(x+﹣3)﹣，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值为________.

3.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x﹣1.

(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围.

4.已知函数f(x)＝ax﹣ex(a∈R)，g(x)＝.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)﹣ex成立，求a的取值范围.

5.设函数f(x)＝﹣，g(x)＝a(x2﹣1)﹣ln x(a∈R，e为自然对数的底数).

(1)证明：当x>1时，f(x)>0；

(2)讨论g(x)的单调性；

(3)若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.

6.f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x.

(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；

(2)若任意x1，x2∈[﹣1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)﹣f(x2)]>g(x1)﹣g(x2)恒成立，求实数m的取值范围.