(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第8章 第4讲　直线、平面垂直的判定与性质 (2份打包，原卷版+教师版)

第4讲　直线、平面垂直的判定与性质

一、知识梳理

1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

3.空间角

(1)直线与平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.

②线面角θ的范围：θ∈.

(2)二面角

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.

如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q.

②二面角的平面角

如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角.

③二面角的范围

设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π].

④当θ＝时，二面角叫做直二面角.

常用结论

1.与线面垂直相关的两个常用结论：

(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.

(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直.

2.三种垂直关系的转化：

线线垂直线面垂直面面垂直

二、教材衍化

1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A.m∥l       B.m∥n      C.n⊥l       D.m⊥n

2.在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　)

(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)

(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　)

(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)

(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)

二、易错纠偏

(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；

(2)面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直.

1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)

A.α⊥β且m⊂α       B.m⊥n且n∥β

C.m∥n且n⊥β       D.m⊥n且α∥β

2.已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　)

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件

C.充要条件           D.既不充分也不必要条件

考点一　线面垂直的判定与性质(基础型)

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面垂直的有关性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论.

核心素养：逻辑推理、直观想象

(1)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.证明：PO⊥平面ABC.

(2)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点.求证：AE⊥平面A1BD.

判定线面垂直的四种方法

1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.

求证：B1N⊥A1C.

2.如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

考点二　面面垂直的判定与性质(基础型)

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面垂直的有关性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论.

核心素养：逻辑推理、直观想象

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.

(1)证明面面垂直的方法

①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.

②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决.

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.　

1.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点.

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

2.如图，在三棱锥A­BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.证明：平面ACD⊥平面BDP.

考点三　空间中的翻折问题(综合型)

折叠问题的关键有二：①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；②分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变.

图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.

(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：

(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.,其步骤为：

—

　↓

—

　↓

—　

如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点.将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到如图2所示的四棱锥P­EBCD，点M为棱PB的中点.

(1)求证：PD∥平面MCE；

(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M­BCE的体积.

[基础题组练]

1.设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(　　)

A.若a∥α，b∥α，则a∥b       B.若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C.若a⊥α，a⊥b，则b∥α       D.若a∥α，a⊥b，则b⊥α

2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)

A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n

B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

3.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A.直线AB上     B.直线BC上    C.直线AC上     D.△ABC内部

4.如图，在三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是(　　)

A.AC＝BC       B.AB⊥VC

C.VC⊥VD       D.S△VCD·AB＝S△ABC·VO

5. (多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(　　)

A.平面ANS⊥平面PBC       B.平面ANS⊥平面PAB

C.平面PAB⊥平面PBC        D.平面ABC⊥平面PAC

6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________.

7.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.

8.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________________；与AP垂直的直线有________.

9.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.

10.如图，平面四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，沿BD折起，使AC＝2.

(1)证明：△ACD为直角三角形；

(2)设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积.

[综合题组练]

1.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

A.BC∥平面PDF          B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE     D.平面PDE⊥平面ABC

2. (多选)如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体.下列关于该多面体的命题，正确的是(　　)

A.该多面体是三棱锥           B.平面BAD⊥平面BCD

C.平面BAC⊥平面ACD        D.该多面体外接球的表面积为5πa2

3.在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)

4.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.

5.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝2，E是AB的中点，G是PD的中点.

(1)求四棱锥P­ABCD的体积；

(2)求证：AG∥平面PEC；

(3)求证：平面PCD⊥平面PEC.

6.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；

(2)求证：AC1⊥平面A1BM；

(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.