(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第9章 第3讲　圆的方程 (2份打包，原卷版+教师版)

第3讲　圆的方程

一、知识梳理

1.圆的方程

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2的位置关系.

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2＜r2.

常用结论

1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x﹣x1)(x﹣x2)＋(y﹣y1)(y﹣y2)＝0.

2.二元二次方程表示圆的条件

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2﹣4F＞0这一条件.

二、教材衍化

1.圆x2＋y2﹣2x＋4y﹣6＝0的圆心坐标________，半径________.

2.若圆的圆心为(﹣8，3)，且经过点(﹣5，0)，则圆的标准方程为________.

3.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)

(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)

(3)方程x2＋y2＋4mx﹣2y＋5m＝0表示圆.(　　)

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2﹣4AF＞0.(　　)

二、易错纠偏

(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2﹣4F＞0；

(2)错用点与圆的位置关系判定.

1.方程x2＋y2＋4mx﹣2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)

A.＜m＜1        B.m＜或m＞1   C.m＜        D.m＞1

2.点(1，1)在圆(x﹣a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________.

考点一　求圆的方程(基础型)

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

核心素养：数学运算

(1)圆心在x轴上，半径长为2，且过点A(2，1)的圆的方程是(　　)

A.(x﹣2﹣)2＋y2＝4       B.(x﹣2＋)2＋y2＝4

C.(x﹣2±)2＋y2＝4        D.(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝4

(2)圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A(2，﹣3)，B(﹣2，﹣5)的圆的方程为________.

求圆的方程的两种方法

(1)直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.

[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.　

1.在平面直角坐标系中，点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆方程是________.

2.若圆C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________.

考点二　与圆有关的最值问题(综合型)

求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想.

角度一　借助几何性质求最值

已知实数x，y满足方程x2＋y2﹣4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y﹣x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值.

与圆有关的最值问题的三种几何转化法

(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如m＝(x﹣a)2＋(y﹣b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.　

角度二　建立函数关系求最值

设点P(x，y)是圆：(x﹣3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，﹣2)，则|＋|的最大值为________.

建立函数关系式求最值

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.　

1.设点P(x，y)是圆：x2＋(y﹣3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(﹣2，0)，则·的最大值为________.

2.已知实数x，y满足(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1，则z＝的最大值与最小值分别为________和________.

考点三　与圆有关的轨迹问题(综合型)

已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

与圆有关的轨迹问题的四种求法

　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(﹣1，0)，B(3，0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

[基础题组练]

1.已知圆C的圆心为(2，﹣1)，半径长是方程(x＋1)(x﹣4)＝0的解，则圆C的标准方程为(　　)

A.(x＋1)2＋(y﹣2)2＝4        B.(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝4

C.(x﹣2)2＋(y＋1)2＝16        D.(x＋2)2＋(y﹣1)2＝16

2.圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)

A.x2﹣y2﹣2x﹣3＝0        B.x2＋y2＋4x＝0

C.x2＋y2﹣4x＝0        D.x2＋y2＋2x﹣3＝0

3.方程|x|﹣1＝所表示的曲线是(　　)

A.一个圆        B.两个圆      C.半个圆        D.两个半圆

4.圆x2＋y2﹣2x﹣2y＋1＝0上的点到直线x﹣y＝2距离的最大值是(　　)

A.1＋        B.2       C.1＋        D.2＋2

5.点P(4，﹣2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1        B.(x﹣2)2＋(y＋1)2＝4

C.(x＋4)2＋(y﹣2)2＝4        D.(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1

6.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

7.过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________.

8.若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y﹣1＝0对称，则圆C的方程是________.

9.求适合下列条件的圆的方程.

(1)圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x＋y﹣1＝0相切于点P(3，﹣2)；

(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(﹣9，2).

10.已知以点P为圆心的圆经过点A(﹣1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程.

[综合题组练]

1.自圆C：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)

A.8x﹣6y﹣21＝0　　　  B.8x＋6y﹣21＝0

C.6x＋8y﹣21＝0        D.6x﹣8y﹣21＝0

2.设点P是函数y＝﹣的图象上的任意一点，点Q(2a，a﹣3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　)

A.﹣2        B.      C.﹣2        D.﹣2

3.(应用型)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________.

4.(应用型)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.

5.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.

6.已知圆C的方程为x2＋(y﹣4)2＝1，直线l的方程为2x﹣y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.