2022嘉兴八校联盟高二下学期期中联考数学试题含解析

2021学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考

高二年级数学试卷（2022年4月）

一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】集合，，

则，

故选：A

2. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.

【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.

故选：B.

3. 已知，为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可.

【详解】函数在上单调递增，则，

则“”是 “”的充要条件

故选：C

4. 某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用n次独立重复试验，恰有k次发生的概率公式计算作答.

【详解】依题意，连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为.

故选：B

5. 已知，则（    ）

A. -18 B. 18 C. -256 D. 256

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二项式定理列式计算作答.

【详解】依题意，.

故选：A

6. 现将3名志愿者安排到5个不同的小区协助社区做核酸检测，要求每人只能去一个小区服务，则不同的安排方法种数有（    ）

A. 60 B. 125 C. 210 D. 243

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算作答.

【详解】将3名志愿者安排到5个不同的小区，每人只去一个小区，则每个人可从5个小区中任选1个小区，有5种选法，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的安排方法种数是125.

故选：B

7. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出男生甲被选中的概率，再求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率,根据条件概率的计算公式可求答案.

【详解】男生甲被选中记作事件，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件，

则：，，

由条件概率公式可得：，

故选：D.

8. 在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数Z的均值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求得（n=1，2，…，n-1）的概率，再利用均值公式求解.

【详解】，表示第一次就抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为；

，表示第一次抽到写有“谢谢参与”奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为，

，

表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“谢谢参与”的奖券，…,第n次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，

其概率为，

所以的均值为．

故选：C

二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知二项式，则下列说法正确的是（    ）

A. 展开式中的常数项为160 B. 展开式中含项的系数是60

C. 若展开式中各项系数之和为64 D. 展开式中的二项式系数最大项为第3项

【答案】AB

【解析】

【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算判断A，B；求出各项系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.

【详解】二项式展开式的通项公式，

由得，所以展开式中的常数项为，A正确；

由得，所以展开式中含项的系数是，B正确；

由展开式中各项系数之和为，C不正确；

展开式中的二项式系数最大项为第4项，D不正确.

故选：AB

10. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好!某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台

B.

C. y与x正相关

D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部

【答案】CD

【解析】

【分析】利用回归方程的意义可判断A；由回归方程过样本中心点可判断B；由可判断C；将代入回归方程可判断D.

【详解】A，由线性回归方程知5G手机的销量逐月增加，

平均每个月增加约44台左右，故A错误；

B，由表中数据可知，

又∵回归方程为，

把代入回归方程，解得，

，

解得，故B错误；

，与x正相关，故C正确；

将代入回归方程得，故D正确.

故选：CD.

11. 假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ）

参考数据：若，则，

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由图可知，由此可判断A；

由图可知Y分布更集中，有，由此可判断B；

由计算可判断C；

由可知，，可判断D．

【详解】对A，由图可知，所以A错误；

对B，由图可知Y分布更集中，所以，则，所以B错误；

对C，由正态分布，，

则，故C正确；

对D，由图可知，，所以，故D正确．

故选：CD.

12. 对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可

【详解】对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；

对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；

对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”；

对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”

故选BD

【点睛】本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知随机变量X的取值为0，1，若，则方差为______．

【答案】##0.16

【解析】

【分析】由设，可求得的概率,从而求得期望，进而求得方差．

【详解】设，故,

所以

，

故答案为：

14. 有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2台车床加工的次品率为6%，加工出来的零件混放在一起．已知两台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，则任取一个零件是次品的概率为______．

【答案】##5.6%

【解析】

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】记B=“任取一个零件是次品”，A=“零件为第1台车床加工”，=“零件为第2台车床加工”，

则有，，

由全概率公式得：，

所以任取一个零件是次品的概率为.

故答案为：

15. “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．

【答案】48

【解析】

【分析】分2步进行，先涂区域①②⑤，再涂区域 ③④即可.

【详解】解：由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有种涂色方法，

第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2种涂色方法，

所以共有种涂色方法，

故答案为：48

16. 已知函数若对任意的x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.

【答案】或.

【解析】

【分析】求出分段函数的最大值，把不等式恒成立转化为大于等于的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数的取值范围．

【详解】对于函数 

当x≤1时， ；

当x>1时， ，则函数f(x)的最大值为 .

则要使不等式恒成立，

则恒成立，即或.

故答案为：或

【点睛】本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，考查运算能力，是中档题．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 由数字0，1，2，3，4．回答下列问题：

（1）可组成多少个没有重复数字的五位数？

（2）从中任取两个数，求取出的两个数之积恰为偶数的不同取法有多少种？

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先在千位，百位，十位，个位中选一个排0，再排剩下4个数，结合排列组合知识求解即可；

（2）按照分一奇一偶和两个都是偶数进行分类，由排列组合知识求解即可；

【小问1详解】

先在千位，百位，十位，个位中选一个排0，再排剩下4个数，则可组成个没有重复数字的五位数

【小问2详解】

取出的两个数之积恰为偶数，则这两个数中至少有一个为偶数

当这两个数为一奇一偶时，有种

当这两个数都是偶数时，有种

则从中任取两个数，求取出的两个数之积恰为偶数的不同取法有种

18. 在①，②这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

已知，均为锐角，，且______

（1）求的值；

（2）求值．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）选择条件①：，直接用公式计算可得结果；

选择条件②：平方即可得；

（2）选择条件①：求出，；利用可求出结果；

选择条件②：由和可得：

或，然后利用可求出结果；

【小问1详解】

选择条件①；

可得：，则；

选择条件②；

平方可得：；

【小问2详解】

选择条件①；

可得：，则，；

由，均为锐角，得：

，

即：．

选择条件②；

平方可得：；

解得：或

当时，

当时，

此时或．

19. 已知二项式的展开式的各二项式系数的和等于128，

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

【答案】（1）7    （2）

【解析】

【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得的值．

（2）由题意利用二项式展开式的通项公式，求得的展开式中系数最大的项．

【小问1详解】

已知，的展开式的各二项式系数的和等于，

．

【小问2详解】

的展开式中的通项公式为，

第项的系数为，

当该系数最大时，为偶数，且最大，此时，，

故的展开式中系数最大的项为第五项；

20. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上 升”两类，对应的人数如下表所示：

（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到）说明，是否有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联

（2）从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，再从人中 随机抽取 3人做进一步调查，记抽到名成绩上升的学生得分，抽到名成绩没有上升的学生得分，抽到名生的总得分用表示，求的分布列和数学期望．

附：

【答案】（1）列联表见解析，有把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）分布列见解析，数学期望为．

【解析】

【分析】

（1）根据已知数据计算的值，看是否大于的临界值，即可做出判定结论；

（2）利用超几何分布公式求出分布列，并利用期望定义计算期望值．

【详解】（1）

有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．

（2）从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，其中成绩上升的有人，成绩没有上升的有人，再从人中随机抽取人，随机变量所有可能的取值为

的分布列如下：

【点睛】方法点睛：本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：

1.首先确定随机变量的所有可能取值；

2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；

3.进行列表，画出分布列的表格；

4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．

21. 一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.

（1）若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；

（2）从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.

【答案】（1）分布列见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题设确定随机有放回的抽取2个小球的所有可能事件，进而确定X可能值，进而求各对应值的概率.

（2）根据期望公式、方差与期望关系，结合已知列关于x、y、z的方程，即可求比例.

【小问1详解】

由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，

又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，

∴，，，，，

∴X的分布列如下：

【小问2详解】由题设，当时，，

当时，，

当时，，

∴，

，

，

∴，则，，，

∴.

22. 定义在R上的函数f（x）＝|x2﹣ax|（a∈R），设g（x）＝f（x+l）﹣f（x）.

（1）若y＝g（x）为奇函数，求a的值：

（2）设h（x），x∈（0，+∞）

①若a≤0，证明：h（x）＞2：

②若h（x）的最小值为﹣1，求a的取值范围.

【答案】（1）a＝1（2）①证明见解析②（1，+∞）

【解析】

【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，令，即可求出的值；

（2）①先去绝对值，再把分离常数即可证明；

②根据的最小值为，分和两种情况讨论即可得出的取值范围.

【详解】（1）∵g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣ax|，

一方面，由g（0）＝0，得|1﹣a|＝0，a＝1，

另一方面，当a＝1时，g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣x|＝|x2+x|﹣|x2﹣x|，

所以，g（﹣x）＝|x2﹣x|﹣|x2+x|＝﹣g（x），即g（x）是奇函数.

综上可知a＝1.

（2）（i）∵a≤0，x＞0，x+1＞0，

所以h（x）

2，

∵1﹣a＞0，x＞0，

∴h（x）＞2.

（ii）由（i）知，a＞0，

情形1：a∈（0，1]，此时

当x∈（a，+∞）时，有2，

当x∈（0，a]时，有h（x），

由上可知此时h（x）＞0不合题意.

情形2：a∈（1，+∞）时，

当x∈（0，a﹣1）时，有h（x），

当x∈[a﹣1，a）时，有h（x）

当x∈[a，+∞）时，有h（x），

从而可知此时h（x）的最小值是﹣1，

综上所述，所求a的取值范围为（1，+∞）.

【点睛】本题考查函数奇偶性的定义求参数的值，考查去绝对值方法和分类讨论的数学思想，属于中档题.