四川省遂宁市射洪中学2023届高三文科数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

射洪中学高2020级高三下期第一次月考

文科数学试题

（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）

1. 设全集，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案.

【详解】解得，

则全集，

则，

故选：D.

2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ）

A. 1 B.  C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出，即得解.

【详解】解：，

所以，，

的实部为0．

故选：C

3. “90后”指1990年及以后出生，“80后”指1980-1989年之间出生，“80前”指1979年及以前出生.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ）

A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上

B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

【答案】D

【解析】

【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多.

【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故A正确；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的，故B正确；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：90后从事运营岗位的人数56%乘17%，约9.5%，而80前占比3%，故互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；

在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：90后从事技术岗位的人数56%乘39.6%，约22.1%，80后占比41%，且不知80后从事行业岗位分布情况，故互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误.

故选：D.

【点睛】本题较易，考查考生根据饼状图或条形图获得信息并判断的能力.

4. 若l，m表示两条不同的直线，表示平面，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可得出结果.

【详解】对于，若，，则的位置关系可能是平行，也可能相交，也有可能异面，故选项错误；

对于，若，，则，则的位置关系可能是平行，也可能异面，故选项错误；

对于，由线面垂直的性质定理可知，选项正确；

对于，若，，则有可能，也有可能，也有可能，故选项错误，

故选：.

5. 已知△的边上有一点满足，则可表示为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】如图所示，.

6. 函数f（x）的图象大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.

【详解】解:由f(x),得f′(x),

令g(x)＝1,则g′(x)0,

所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,

又g(e)0,g(e2)0,

所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,

所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;

当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,

所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.

故选:C.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.

7. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.

【详解】由题意，若，则，解得或，

经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，

故选：C．

8. “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（    ）

A. 6 B. 14 C. 26 D. 44

【答案】C

【解析】

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】，，，n是奇数，，，否，；

，n不是奇数，，，否，；

，n是奇数，，，否，；

，n不是奇数，，，否，；

，n是奇数，，，是，则输出．

故选：C.

9. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据得到是周期为6的函数，结合函数奇偶性得到答案.

【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的函数，因为是奇函数，所以，

故

故选：C

10. 已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用整体思想法，求得的范围，再运用正弦函数图象分析即可.

【详解】∵，，

∴，

又∵在恰有2个极大值点，

∴由正弦函数图象可知，，解得：.

故选：B.

11. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据以及相切可得，在中根据中位线可得，进而根据双曲线定义即可求解进而可求离心率.

【详解】由已知，，在中，∵H，C为，中点，∴.又，所以，∴.

故选：B

12. 设，，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据数字特征、对数的运算性质、同角的三角函数关系式、二倍角正弦公式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.

【详解】构造函数，所以有，

因为，所以，所以此时函数单调递增，

故有，显然，所以有，

即；

，

，构造函数，

则有，因为，所以，

因此，所以函数是增函数，

于是有，而，所以，

即，于是有，

故选：A

【点睛】关键点睛：根据代数式的特征构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性进行判断是解题的关键.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设等差数列前项和为，若，则__________.

【答案】26

【解析】

【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.

详解】由已知，所以.

则.

故答案为：.

14. 若实数，满足，则的最大值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题目中的约束条件作图，结合截距式方程的几何意义，可得答案.

【详解】由约束条件，可作图如下：

根据方程，当时，方程表示为图中过的虚线，

当取不同值时，将方程整理为，虚线会上下平移，

则由图可知，当虚线过时，取得最大值，

由，解得，则，故.

故答案为：1.

15. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.

【答案】

【解析】

【分析】将三棱锥放在长方体中，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球的直径为长方体的体对角线的长求解.

【详解】如图所示：

将三棱锥放在长方体中，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

球的直径是PB，球的半径，

属于三棱锥的外接球的体积为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查几何体的外接球的体积，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.

16. 老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形ABCD，（单位：m），一边是以CD为直径的半圆，另外一边是以AB为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点M到AB的距离是，要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是___________m．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再加上半径即可求得结果.

【详解】根据题意可得，以的中点为坐标原点，所在直线和的垂直平分线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则半圆圆心为，半径；

由椭圆长轴可得，易知，所以椭圆方程为；

根据题意可得当点到圆心的距离最大时，的连线交半圆于，此时距离最大；

设，则,

易知，

当时，取最大值28，所以，

则.

故答案为：

三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答.）

17. 若平面向量, ，函数．

（1）求函数的值域；

（2）记的内角的对边长分别为，若，且

，求角C的值．

【答案】（1）   （2）

【解析】

【分析】（1）根据向量数量积运算,代入坐标可得的表达式,进而得到值域.

（2）先求得角A,再由及求得a、c的关系，进而得到角C．

【详解】（1）由代入坐标,可得

，

得函数 值域为

（2）因为

所以

 又

所以

由及

得

则

所以

因为

所以

则

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．

18. 某电器公司的市场调研人员为了改进和评价市场营销方案，对公司某种产品最近五个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：

（1）从上述五个月份中随机抽取两个月，求该产品市场占有率均超过10%的概率；

（2）求关于的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率开始超过35%．

，

【答案】（1）；   

（2），预测该产品的市场占有率开始超过35%的时间为2023年1月.

【解析】

【分析】（1）根据古典概率模型列举基本事件，求解即可；

（2）结合已知数据和公式计算得，，进而得，再解不等式估计即可得答案.

【小问1详解】

设，，，，分别代表6至10月份，其中，，市场占有率均超过10%．

从五个月份中随机抽取两月份的基本事件有：，，，，，，，，，共有10个基本事件，

其中市场占有率均超过10%的有，，共有3个，

所以五个月份中任取两个月份市场占有率均超过10%的概率；

【小问2详解】

由题表中数据得：

，，

，，，，

，

又因为，

所以回归方程为：，

由解得

所以预测该产品市场占有率开始超过35%的时间为2023年1月．

19. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直线与平面夹角.

【小问1详解】

因为，点是的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以⊥平面ABCD，又平面，

所以平面平面；

【小问2详解】

取的中点，连结，

因为四边形为矩形，且，

所以四边形为正方形，，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面的法向量，

则 有，即，

令，则，

所以平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则

直线与平面所成角正弦值为.

20. 在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到y轴的距离大1.

在①和②中选择一个作为条件:

（1）选择条件：           求曲线的方程；

（2）在轴正半轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）选①：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，从而可求其方程．

选②：设动圆的圆心为，则，通过直接法求轨迹方程的方法，列出满足的关系式，化简即可得到点的轨迹方程．

（2）假设在存在点满足题意，设直线的方程为，点，通过联立，得，由韦达定理可得，从而，同理可得，代入化简，由为定值可求，从而可求该点坐标．

【小问1详解】

选①：

如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，

设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为，

在梯形中，由中位线性质可得，

所以，又，所以，

由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为：.

选②：

设动圆的圆心为，则，

由圆与轴相切可得，

即，整理可得.

【小问2详解】

设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，点，

由，得，则.

又，同理可得，

则有

.

若为定值，则，此时点为定点.

又当时，，所以，存在点，

当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值1．

21. 已知函数，为正实数．

（1）若在上为单调函数，求的取值范围；

（2）若对任意的，且，都有，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）转化为在上恒成立，即在上恒成立，再根据可的结果；

（2）由得，令，则在区间上是减函数．在区间上恒成立，然后按照和两种情况讨论，利用导数可求出结果.

【小问1详解】

时，，，

因函数在上为单调函数，

当时，，所以恒成立，

因为，当且仅当时，等号成立，

而，所以，

所以，即的取值范围为．

【小问2详解】

因为，所以，

所以在区间上是减函数．在区间上恒成立，

①当时，．

由在上恒成立．

设，所以，

所以在上为增函数，所以．

②当时，．

由在上恒成立．

令，所以在上为增函数，

所以，

综上：的取值范围为．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．

[选修4—4极坐标与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若射线：与曲线的交点为 ，与曲线的交点为 ，求的值．

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）先将参数方程转化为普通方程，再根据转化为极坐标方程即可；（2）运用极坐标方程的弦长公式即可解决.

【小问1详解】

曲线的参数方程为（为参数），

曲线的普通方程为．

根据，

转化为极坐标方程为．

【小问2详解】

将代入，得，

．

将代入，

得，

解得或（舍）．

．

．

23. 已知.

（1）当，时，解不等式；

（2）若的最小值为2，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）当，时，， 分类讨论即可得解；

（2）由绝对值三角不等式可得，

若的最小值为2，则，所以，再利用基本不等式即可求最小值.

【详解】（1）当，时，

，

所以或或，

解得：或，

故解集为；

（2）由，

所以，

若的最小值为2，则，所以，

，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题.