河南省周口市项城市2024届高三5校青桐鸣大联考9月数学试题

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，复数，是实数，则（    ）

A．5 B．10 C． D．

2．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，是函数（，）图象上两条相邻的对称轴，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，则（    ）

A．是偶函数  B．是奇函数

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称

6．毕业典礼上，某班有，，，，，六人站一排照相，要求，两人均不在排头，且，两人不相邻，则不同的排法种数为（    ）

A．160 B．288 C．336 D．480

7．已知抛物线的焦点为，点，过的直线垂直于，且交抛物线于，两点，则（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

8．在正四棱锥中，，，，分别为，，的中点，直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，，，，满足，则（    ）

A．  B．

C．  D．

10．已知，为坐标原点，终边上有一点，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知在等边三角形中，，为的中点，为的中点，延长交于点，则（    ）

A． B．

C．  D．

12．若数列满足，（为正整数），为数列的前项和，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线（）的离心率为2，则实数______．

14．已知（）是上的减函数，则实数的取值范围是______．

15．已知一个圆台内切球的半径为，圆台的表面积为，则这个圆台的体积为______．

16．现有一组数据：，共200项，（是这一组数据的第项），有以下结论：①这组数据的极差为19；②这组数据的中位数为14；③这组数据的平均数为13.5；④．

其中正确结论的个数为______．（参考公式：）

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知数列满足，且为等比数列，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求满足的最大整数．

18．（12分）

在直四棱柱中，四边形是菱形，，，平面．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

19．（12分）

在中，，的面积为，为的中点，于点，于点．

（1）求的面积；

（2）若，求的值．

20．（12分）

某地乒乓球协会在年龄55岁~65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐乒乓”比赛，3人一组先进行预赛，选出1名参赛人员进入正式比赛．已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛．若前三场比赛甲、乙、两各胜负一场、则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛．

已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为，，，各场比赛互不影响且无平局．

（1）求甲进入正式比赛的概率；

（2）若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．

21．（12分）

已知，是椭圆上的两点，，，关于原点对称，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于，两点（，异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值．

22．（12分）

已知函数，．

（1）求实数的值；

（2）证明：时，．