辽宁省朝阳市2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题

2023~2024学年上学期高三年级9月联考卷

数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：高考范围．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，若，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．4 B．5 C．7 D．8

2．复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．设为上的奇函数，且当时，，则（    ）

A．12 B．－12 C．13 D．－13

5．的展开式中的系数为（    ）

A．55 B．60 C．65 D．70

6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（    ）

A．30% B．40% C．60% D．70%

7．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A．［－1，1] B． C． D．

8．已知抛物线，圆，若点P，Q分别在、上运动，且设点M（4，0），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

10．已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知函数，则（    ）

A．f(x)有三个零点  B．f(x)有两个极值点

C．点（0，－2）是曲线y=f(x)的对称中心 D．曲线y=f(x)有两条过点（－1，0）的切线

12．设符号函数已知函数，则（    ）

A．f(x)的最小正周期为

B．f(x)在上的值域为

C．f(x)在上单调递减

D．函数在上有5个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知非零向量，的夹角为，，，则=______．

14．已知，则______．

15．已知，则的最小值为______．

16．如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左、右焦点分别是，，是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线MN的斜率为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知等差数列的前项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）求使成立的n的取值集合．

18．（本小题满分12分）

某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；

（1）求a；

（2）若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（300，500]内的车辆数；

（3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．

19．（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求的大小；

（2）若为AB边上一点，且，求的值．

20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点．

（1）求证：平面PCD；

（2）求平面BPD与平面夹角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

设双曲线的右焦点为F，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于A，B两点．

（1）若，求的离心率的取值范围；

（2）若恒为锐角，求的实轴长的取值范围．

2023~2024学年上学期高三年级9月联考卷·数学

参考答案、提示及评分细则

1．D ，因为，所以满足条件的集合的个数为．故选D．

2．C 因为，其共轭复数是．故选C．

3．A 若，则成立，故充分性成立；若，则，不一定为，故必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．

4．C 因为为上的奇函数，所以，，所以．故选C．

5．A 因为的展开式的通项为，所以，展开式中的系数为．故选A．

6．B 由题意得当时，，则，得，所以，得，所以．当时，．故选B．

7．C 函数的导数为，由题意可得恒成立，设，即有，所以，且，解得的取值范围是．故选C．

8．B 如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，，且，所以．令，则，所以，当，即时，取得最小值．故选B．

9．AC 由图象可知，，，所以，当时，，，又，解得，所以，又．故选AC．

10．ABD 对于A，，故A正确；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，当，，时，，故C错误；对于D，因为，故D正确．故选ABD．

11．BCD 对于B，，令，得或；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是极值点，故B正确；对于A，由的单调性，知极大值，又，所以函数在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；对于C，令，该函数的定义域为R，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向下平移2个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对于D，设切点为，，则切线的斜率为，切线的方程为，代入，可得，整理并解得或，则过点的切线有两条，故D正确．故选BCD．

12．CD  当时，，，，当时，，，，当时，，，，即作出的部分图象，如图所示．

由图可知，不是周期函数，故A错误；由图可知，在上的值域为，故B错误；由图可知，在上单调递减，故C正确；令，得，由图可知，在上，的图象与直线只有5个交点，所以在上有5个零点，故D正确．故选CD．

13．2  因为，所以，，所以．

14．  因为，则，则．

15．8  ，当且仅当，即时，等号成立，又，当且仅当，即时，等号成立．综上所述，当时，取得最小值8．

16．  因为椭圆的离心率为，则，又因为，即，则，可得，，所以①，又因为，可得②，又因为③，由①②③知，．在中，由余弦定理可得，可得为锐角，则，所以，即直线的斜率为．

17．解：（1）设等差数列的公差为．

因为，所以，则．①

又因为，所以，得，②

联立①②，解得，，

即数列的通项公式为．

（2）由（1）知，所以，即为，

当时，，解得（舍）或（舍）；

当时，，解得，所以，

所以满足条件的的取值集合为．

18．解：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，

可列等式为，所以．

（2）样本中停车时长在区间内的频率为，

所以估计该天停车时长在区间内的车辆数是．

（3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，

则，所以，

所以确定免费停车时长为153分钟．

19．解：（1）因为，

所以由正弦定理得，

所以由余弦定理得，

又因为，所以．

（2）因为，所以，，．

在中，由正弦定理得，即，

化简得，即．

所以．

20．（1）证明：在正方形中，，

又侧面底面，侧面底面，平面，

所以平面，

又平面，所以，

因为是正三角形，是的中点，所以，

又，平面，所以平面．

（2）解：取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则，，，，，

所以，．

设平面的法向量为，则

由得

取，则，

由（1）知平面的一个法向量为，

设平面与平面的夹角为，

则．

所以平面与平面夹角的余弦值为．

21．解：（1）的定义域为，，

当时，无单调性；

当时，对任意恒成立，

所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间；

当时，对任意恒成立，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．

（2）不等式，即，则．

设，依题意，存在，

而，

当时，在上恒成立，不满足题意；

当时，方程的判别式，

即在上恒成立，则在上单调递增，

，在上恒成立，不满足题意；

当时，令，得，，

由和，得，则当时，，在上单调递减，

此时，因此，当时，存在，使得不等式成立，

所以满足题意的的取值范围为．

22．解：（1）若，因为，所以，

则，所以，

则的离心率，

又，所以的离心率的取值范围是．

（2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为．

结合，

联立得，

设，由韦达定理，得

由于两点均在的右支上，故，即．

则

．

由恒为锐角，得对，均有，

即恒成立．

由于，因此不等号左边是关于的增函数，

所以只需时，成立即可，解得，

结合，可知的取值范围是．

综上所述，的实轴长的取值范围是．