四川省绵阳实验高级中学2023-2024学年度高三上学期开学考试理科数学试题

高2021级高三上学期开学考试理科数学试题

一、单选题（60分）

1．已知命题p：，使得成立为真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．下列每组中的函数是同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．若二次函数满足，且，则的表达式为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知函数，则（    ）

A． B．0 C．4 D．6

6．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知在区间上有最小值，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

9．定义区间的长度为，若函数，在上的最小值为3，最大值为4，则区间的长度的最大值为（    ）

A．1 B．8 C．9 D．10

10．已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（20分）

13．是虚数单位，数，则______．

14．命题p：“，”，命题q：“，”，若是假命题，则实数a的取值范围是______．

15．若函数在处取得极小值，则______．

16．已知定义在R上的奇函数满足，且时，，给出下列结论：①；②函数在上是增函数；③函数的图像关于直线对称；④若，则关于x的方程在上的所有根之和为12．则其中正确命题的序号为______．

三、解答题（70分）

17．已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）当B为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

18．已知是定义在R上的偶函数，且时，．

（1）求的解析式；

（2）若，求实数a的取值范围．

19．已知函数，．

（1）当时，利用函数单调性定义证明在上单调递增；

（2）当时，求函数在的值域；

（3）若对任意，恒成立，试求实数a的取值范围．

20．已知函数．

（1）讨论的最值；

（2）设，若恰有2个零点，求实数m的取值范围．

21．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C的极坐标方程为．

（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．

参考答案：

1．B

【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．

【详解】命题p为真命题等价于不等式有解．

当时，不等式变形为，则，符合题意；

当时，，解得；

当时，总存在，使得；

综上可得实数a的取值范围为．

故选：B

2．B

【分析】利用函数定义域求出集合A，利用对数运算求解集合B，从而利用交集运算求解即可．

【详解】因为，所以，又，

所以集合，

所以集合，所以，

故选：B

3．B

【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可．

【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数；

对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；

对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；

对于D，函数的定义域为，函数的定义域为R，

所以这两个函数不是同一个函数．

故选：B．

4．D

【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式．

【详解】设，，

∵，则，

又∵，

令，则，∴，即，，

令，则，，即，，

∴，，．

故选：D．

5．A

【分析】根据分段函数的解析式，可得答案．

【详解】由题意可知：

，

，．

故选：A．

6．D

【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，，再利用函数单调性比较大小即可．

【详解】由得，所以，

又为偶函数，所以的图象关于对称，

所以，，，

又在内单调递减，

∴，即．

故选：D．

7．D

【分析】由于函数在开区间有最小值，则函数的极小值点在内，且在内的单调性是先减再增．

【详解】因为，当时，，当，，

所以得极小值为．所以，得到，

故选：D．

【点睛】易错点睛：本题考查用导数求函数的最值，属于难题．根据题意，求出函数的导数，利用导数求出函数的极小值来，由所给已知条件的分析，极小值点．本题中的两个条件，都容易漏掉，所以做题时一定要认真分析，充分挖掘题中的隐含条件，才能得到正确的答案．

8．D

【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解．

【详解】因为，所以是以6为周期的函数，

所以，

故选：D．

9．C

【分析】画出函数图像，计算函数值为3和4时的x的值，结合图形，得到长度最大区间来求解即可．

【详解】

令可得

当时，，解得，

当时，，解得，

令可得

当时，，解得，

当时，，解得，

结合图形可知，当区间为时，区间的长度取得最大值为9．

故选：C．

10．D

【分析】易知函数在R上递减，由求解．

【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，

所以函数在R上递减，

所以，

解得：

故选：D．

11．B

【分析】函数存在单调递减区间可转化为当时，有解，等价于在上有解；令，利用导数求得的最小值，从而可得a的取值范围．

【详解】由题意得：

∵函数存在单调递减区间

∴当时，有解，即当时，有解

等价于在上有解

令，则

当时，，当时，

则在上单调递减，在上单调递增

∴；

∴

本题正确选项：B

【点睛】本题考查能成立问题的求解，关键是能够将函数存在单调递减区间转化为有解的问题，进而通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系问题，属于常考题型．

12．B

【分析】把函数有两个不同的极值点，转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到．把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案．

【详解】由得，

因为函数有两个不同的极值点，，

所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有，解得．

因为不等式恒成立，

所以恒成立．

，

设，则，

故在上单调递增，所以，

由题意恒成立，所以．

因此实数t的取值范围是．

故选：B

13．/

【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念求解．

【详解】，

所以，

故答案为：．

14．

【分析】分别求得命题p、q为真命题时，实数a的取值范围，进而求得p和q同时为真命题时，得到，进而求得是假命题时，实数a的取值范围．

【详解】若p是真命题，则对于恒成立，所以，

若q是真命题，则关于x的方程有实数根，

所以，即，

若p和q同时为真命题，则，所以，

所以当是假命题时，p和q中至少有一个是假命题时，可得．

15．8

【分析】首先根据，求a的值，再代入导函数，判断函数的单调性，进行验证．

【详解】，，

由题意可知，，得，

则，得或2，

与的变化情况如下图，

所以．

故答案为：8

16．①③④

【分析】由题可判断函数最小正周期为8，再结合赋值法即可逐项判断求解

【详解】由，将x代换为，代换可得，，

由函数为奇函数，故，令，则，又时，，所以，所以，①对；

当时，，为增函数，函数为奇函数，所以时，单增，，则函数关于对称，函数在上是减函数，②错；

同理，令，得，图像关于对称，③对；

如图，画出函数大致图像，的最左侧两根和为－12，区间的两根之和为4，区间两根之和为20，所以所有根之和为12，④对

故正确选项为：①③④

故答案为：①③④

【点睛】本题考查函数的基本性质应用，单调性、奇偶性，增减性等基本性质，属于中档题

17．（1）

（2）

【分析】（1）分别求出集合A，B，然后计算，最后；

（2）由题意知集合B是集合A的真子集，建立不等式组求解即可．

【详解】（1）∵，

∴．

当时，．

∴，

所以，．

（2）∵B为非空集合，是的充分不必要条件，

则集合B是集合A的真子集，

∴，

解得：，

∴m的取值范围是．

18．（1）；

（2）或．

【分析】（1）当时，可将代入解析式，结合偶函数定义可得此时的解析式，由此可得解析式；

（2）由复合函数单调性判断方法判断函数在上的单调性，结合偶函数性质利用单调性化简不等式求得结果．

【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，

所以，

令，则，

∴时，，

则．

（2）因为时，，

又函数，由函数，与函数，复合而成，

函数在上单调递增，

函数在上单调递减，

所以函数在上单调递减，

故函数在上单调递减，

∵是定义在R上的偶函数，所以，

所以不等式，可化为

∴，

∴或．

19．（1）证明见解析

（2）

（3）

【分析】（1）根据单调性的定义，设其定义域内，，利用作差法，可得答案；

（2）根据单调性的性质，建立不等式，结合值域的定义，可得答案；

（3）解法一：根据定义域，化简不等式，构造函数，利用二次函数的单调性，可得答案；

解法二：根据定义域，化简不等式，利用参变分离，构造函数，利用二次函数的性质，可得答案．

【详解】（1）由，则，设，，，

，

由，则，，，即，

所以在上单调递增．

（2）由（1）可知在上单调递增，

当时，则，，，

所以函数在上的值域为．

（3）解法一：依题意在上恒成立，

即在上恒成立，

记，，由在上单调递增，

当时，取得最小值为，

所以当，即时，恒成立．

于是实数a的取值范围为．

解法二：依题意在上恒成立，

即在上恒成立，则在上恒成立．

令，，由于在上单调递减，

所以当时，取得最大值为，

所以．

20．（1）答案见解析

（2）

【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可．

（2）首先函数恰有2个零点，即恰有2个不等的实根，从而得到恰有2个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可．

【详解】（1）由题得，，

当时，，在R上单调递减，故无最值；

当时，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在处取得唯一的极小值，即为最小值，

即，

综上所述，当时，无最值；

当时，的最小值为，无最大值．

（2），

函数恰有2个零点，即恰有2个不等的实根，

即恰有2个不等的实根，

设，则，

∵，∴单调递增，

∴有两个解，即有两个解．

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又时，，且，，

∴当时，，

当时，仅有一个零点，

∴m的取值范围为．

21．（1）当时，在上为增函数；当时，在单调递增，在单调递减；

（2）

【分析】（1）求导函数，讨论，时导函数符号从而得函数单调性；

（2）将不等式转化为，使得，设，求导确定单调性从而得函数最值，即可得实数a的取值范围．

【详解】（1），定义域为，

①若，则，在上为增函数，

②若，令，得，

当时，；当时，

∴在单调递增，单调递减

综上所述当时，在上为增函数；

当时，在单调递增，在单调递减；

（2）因为，使得，所以，

令，即，

因为，

设，，

所以在单调递减，又，

则当，，当，，

故函数在单调递增，单调递减，

的最大值为，，

即实数a的取值范围是．

【点睛】方法点睛：已知含参不等式求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：构造差函数，求导确定单调性，再相应最值确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

22．（1）；

（2）5．

【分析】（1）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用韦达定理由此能求出的值．

【详解】（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴直线l的直角坐标方程为．

∵曲线C的极坐标方程为，∴

∴曲线C的直角坐标方程为．

（2）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，得：

，

∴，

∴．