2022-2023学年广东省东莞市东莞中学高一上学期10月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市东莞中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案

【详解】阴影部分表示的集合为，

故选

【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题

2．命题，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】根据命题的否定形式直接得解.

【详解】命题的否定形式即条件不变，结论变相反，

：，或 解得

故选：B

【点睛】本题考查命题的否定形式，属于基础题.

3．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.

【详解】由题可得和是方程的两个根，且，

，解得，

则，

则函数图象开口向下，与轴交于.

故选：C.

4．已知函数如下表所示：

则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的定义，逐一检验各个选项中的是否满足不等式，从而得到不等式的解集.

【详解】解：由题意得：

当时，，故，，，不满足题意，故不是不等式的解集；

当时，，故，，，满足题意，故是不等式的解集；

当时，，故，，，满足题意，故是不等式的解集；

当时，，故，，，满足题意，故是不等式的解集；

当时，，故，，，不满足题意，故不是不等式的解集；

故不等式的解集为.

故选：C

5．已知函数，则（     ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以．

故选：B

6．关于x的不等式的解集不可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简不等式，然后根据的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集.

【详解】因为，所以，

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

当时，，

若，，解集为；

若，，解集为；

若，，解集为；

所以解集不可能是，

故选：A.

7．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】A

【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.

【详解】因为，

由基本不等得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8

由题可知， 即 ，解得，

故选：A

8．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.

【详解】因为函数的定义域是，

所以，所以

所以函数的定义域为，

要使有意义，则需要，解得，

所以的定义域是.

故选：D.

二、多选题

9． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.

【详解】由命题:，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，

故选：ABD.

10．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与；

B．与；

C．与；

D．与.

【答案】CD

【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；

对于B中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；

对于D中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数.

故选：CD.

11．下列命题正确的是

A． B．，使得

C．是的充要条件 D．，则

【答案】AD

【分析】对A．当时，可判断真假，对B.  当时，，可判断真假，对C.  当时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.

【详解】A．当时，不等式成立，所以A正确.

B.  当时，，不等式不成立，所以B不正确.

C.  当时，成立，此时，推不出.所以C不正确.

D.  由，因为，则,所以D正确.

故选：A D.

本题考查命题真假的判断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.

12．若函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.

【详解】令，则，所以，则，故C错误；

，故A正确；，故B错误；

（且），故D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．已知，则函数的解析式为       ．

【答案】

【分析】令，则，代入已知函数的解析式可得，进而可得函数的解析式.

【详解】令，则，

代入已知函数的解析式可得，，

所以函数的解析式为.

【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求法问题，其中解答中根据题设条件，利用换元法求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

14．已知集合，集合，则           .

【答案】

【分析】根据具体函数定义域、二次函数值域求解集合，根据交集定义求解.

【详解】由题意，，所以集合，

恒成立，所以集合，

所以.

故答案为：

四、双空题

15．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，因此      ；若，则x=      .

【答案】          0或1

【分析】由符号表示p，q两数中较大的数求解.

【详解】解：因为符号表示p，q两数中较大的数，

所以；

则，

当时，，

解得或（舍去）；

当时，，

解得或（舍去），

所以或，

故答案为：，0或1

五、填空题

16．设集合，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是           .

【答案】

【分析】根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果.

【详解】由题可知，的长度为 ，的长度为， 都是集合的子集，

当的长度的最小值时，与应分别在区间的左右两端，

即，则，

故此时的长度的最小值是：.

故答案为：

六、解答题

17．若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B．

（1）求集合A；

（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用十字相乘法将原不等式化为，利用一元二次函数的性质即可求出集合；

（2）先利用分式不等式的解法求出集合，根据条件判断出，再列不等式组求出的范围.

【详解】（1）原不等式可化为：，解得，

所以集合；

（2）不等式可化为：，

等价于，解得，

所以集合，

因为是的必要不充分条件，所以，

故，解得.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、必要不充分条件的应用和真子集的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于基础题.

18．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得不等式成立；

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)若命题p和命题q有且仅有一个为真，求m的取值范围

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据常变量分离法，结合基本不等式、任意性的定义进行求解即可；

（2）根据存在性的定义，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.

【详解】（1））若p为真，即，不等式恒成立．也即在时恒成立，又，当且仅当时取等号，故；

（2）若q为真，即，使得不等式成立；所以，也即，

因为命题p和命题q有且仅有一个为真

若p真q假，则，或，解得，，

不等式组的解集为空集，

所以有，

若p假q真，则，无解；

故当时，命题p和命题q有且仅有一个为真.

19．给定函数，，.

(1)在所给坐标系（1）中画出函数，的大致图象；（不需列表，直接画出.）

(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用解析法和图象法表示函数.（的图象画在坐标系（2）中）

(3)直接写出函数的值域.

【答案】(1)图象见解析.

(2)，图象见解析.

(3).

【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出5个点，再将各点连接起来，即可得，的大致图象；

（2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出的图象.

（3）由（2）所得图象直接写出的值域.

【详解】（1）

∴函数，的大致图象如下图示：

（2）由，可得或，结合（1）的图象知：

，则的图象如下：

（3）由（2）所得图象知：的值域为.

20．已知函数.

(1)当时，求解关于的不等式；

(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)6

【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；

（2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案.

【详解】（1）当时, 不等式即为，解得或，

故不等式解集为 ；

（2）方程有两个正实数根，

即有两个正实数根，

故，解得；

所以，

令，则，

故，

当且仅当即时取得等号，

故的最小值为6.

21．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.

（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；

（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.

【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．

【详解】（1）由栏目高与宽（），可知，

广告的高为，宽为(其中)

广告的面积

（2）由，所以

当且仅当，即时取等号，此时.

故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知函数．

(1)若关于的不等式的解集为，求的值．

(2)求关于的不等式的解集．

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）由一元二次不等式解的特点可得与是方程的两根，由此可代入求得，再将代入不等式求得；

（2）由题意得，对，，，与五种情况分类讨论即可得到结果.

【详解】（1）因为的解集为，

所以与是方程的两根，且，

将代入，得，则，

所以不等式为，转化为，

所以原不等式解集为，所以.

（2）因为，所以由得，整理得，即，

当时，不等式为，故不等式的解集为；

当时，令，解得或，

当时，，即，故不等式的解集为；

当时，，故不等式的解集为或；

当时，，不等式为，故其解集为；

当时，，故不等式的解集为或；

综上：①当时，原不等式解集为；

②当时，原不等式解集为；

③当时，原不等式解集为或；

④当时，原不等式解集为；

⑤当时，原不等式解集为或.