2022-2023学年山东省潍坊市昌邑市文山中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省潍坊市昌邑市文山中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，进而求出.

【详解】，故

故选：B

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，进而可求得原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得.

因此，函数的定义域为.

故选：B.

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

3．已知命题，，那么命题p的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可得到命题的否定.

【详解】解：命题，的否定是：，.

故选：C

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指对数函数的性质判断a、b、c的大小.

【详解】由，

所以.

故选：A

5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

6．函数的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

7．已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解.

【详解】因为函数满足时，恒有成立，

即函数满足时，恒有成立，

所以函数在上单调递增，

所以，解得.

故选：D.

8．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（　　）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【答案】D

【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．

【详解】

由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，

作出函数f（x）和，x＞0的图象，

由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点．

所以函数f（x）的““黄金点对“有3对．

故选D．

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.

【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.

故选：BC.

10．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列选项互为互斥事件的是（    ）

A．至少有一个白球和全是白球 B．至少有一个白球和全是红球

C．恰有一个白球和恰有2个白球 D．至少有一个白球和至少有一个红球

【答案】BC

【分析】需要区分互斥事件与对立事件的区别，再结合发生事件的特点逐一判断即可．

【详解】互斥事件不一定是对立事件，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事件一定是互斥事件且满足两事件概率之和为1；

对A：至少有一个白球包括：一个红球一个白球和两个白球两种情况，全是白球指的是：两个白球，显然两个事件不是互斥事件，不符合题意；

对B：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，显然至少有1个白球和全是红球是互斥事件和对立事件，符合题意；

对C：恰有1个白球和恰有两个白球显然是互斥事件，但不是对立事件，事件还包括：恰有两个红球，符合题意；

对D：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，至少一个红球包括：一红一白和两个红球，两事件不互斥，不符合题意；

故选：BC

11．下列说法中，正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若对，恒成立，则实数m的最大值为2

D．若，， ，则的最小值为4

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.

【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确；

，故B错误；

，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；

，，，故的最小值为4，故D正确.

故选：ACD.

12．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）

A．对于圆O，其“太极函数”有1个

B．函数是圆O的一个“太极函数”

C．函数不是圆O的“太极函数”

D．函数是圆O的一个“太极函数”

【答案】BD

【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.

【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；

对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；

对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；

对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.

故选：BD

三、填空题

13．样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为   .

【答案】2

【分析】设第五个数为，由数据的平均数公式求得 ，再根据方差的公式计算

【详解】解：设第五个值为，则，即，

则样本方差为，

故答案为：2.

14．已知函数，则      ．

【答案】

【分析】根据解析式算出答案即可.

【详解】因为

所以

故答案为：

15．已知是奇函数，当时，，则      ．

【答案】-4

【分析】先由奇函数的性质求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果

【详解】因为是奇函数，当时，，

所以，得，

所以，，

因为是奇函数

所以，

故答案为：

16．已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为           .

【答案】

【解析】利用基本不等式求得的取值范围，对不等式分离常数，结合函数单调性求得的取值范围.

【详解】依题意，则，

，

当且仅当时等号成立.

由，为正实数得

，，

令，

在上递增，所以时有最小值，

所以

故答案为：

【点睛】利用基本不等式求最值，要注意掌握“”的代换的方法.

四、解答题

17．化简求值：

（1）；

（2）．

【答案】(1);(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算,化简即可.

（2）由对数的运算化简即可得解.

【详解】（1）根据指数幂的运算,化简

（2）由对数的运算,化简

【点睛】本题考查了分数指数幂的运算与化简,对数的运算性质的应用,属于基础题.

18．已知集合，．

(1)当时，求集合B与；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交运算求.

（2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a的范围.

【详解】（1）由，则或，得．

当时，集合，

所以；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，又，

所以，解得，即实数a的取值范围是．

19．已知函数（且）.

(1)若函数在区间内为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）利用二次函数的性质，讨论对称轴与的位置关系求a的取值范围.

（2）由题设可得，判断的大小关系，由一元二次不等式的解法求解集即可.

【详解】（1）由题设，二次函数的对称轴为且a ≠ 0，

∴要使在内为单调函数，则或，解得或.

（2）由题设，，

∴，

由，则，当且仅当时等号成立，

∴，故解集为.

20．研究发现，在分钟的一节课中，注力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关系为.

(1)在上课期间的前分钟内（包括第分钟），求注意力指标的最大值；

(2)根据专家研究，当注意力指标大于时，学生的学习效果最佳，现有一节分钟课，其核心内容为连续的分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？

【答案】(1)；(2)不能.

【解析】（1），，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；

（2）求出时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论.

【详解】（1），，

当时，取最大值为，

在上课期间的前分钟内（包括第分钟），注意力指标的最大值为82；

（2）由得，或

整理得或，

解得或，

的解为，

而，

所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容.

【点睛】本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题.

21．某学校高一学生学习兴趣小组为了了解某种产品的挥发性物质含量，从该产品中随机抽取100个，测量其挥发性物质含量，得到如下频率分布直方图（单位：‰），产品的挥发性物质含量落入各组的频率视为概率．

(1)若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该产品是否需要技术改进？（同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替）

(2)用分层抽样的方法从挥发性物质含量落在，内的产品中抽取6个产品进行分析，求这6个产品中有2个产品的挥发性物质含量落在内的概率．

【答案】(1)需要进行技术改进

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数估计即可得答案；

（2）根据分层抽样得从组中抽取个，从组中抽取个，进而根据古典概型列举基本事件求解即可.

【详解】（1）解：根据题意：

故该产品需要进行技术改进；

（2）解：组的产品的个数为，

组的产品的个数，

所以从组中抽取个，从组中抽取个，

记组中抽取的5个分别为a，b，c，d，e，组中抽取的一个为f，

则从6个中抽取2个的所有情况如下：

，，，，，

，，，，，

，，，，共15种情况，

其中在中恰有2个的有，，，，，，，，，共10种情况，

所以所求的概率．

22．已知函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；

（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.

【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；

（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.

【详解】（Ⅰ）当时，，

对称轴为：，

所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；

则，

所以在区间上的值域为；

（Ⅱ）由，

令，可得，

即，

令，，，

函数在区间内有且只有一个零点，

等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；

①当时，在上递减，

在上递增，

而，

所以函数与的图象在内有唯一交点.

②当时，图象开口向下，

对称轴为，

在上递减，

在上递增，

与的图象在内有唯一交点，

当且仅当，

即，

解得，

所以.

③当时，图象开口向上，

对称轴为，

在上递减，

在上递增，

与的图象在内有唯一交点，

，

即，

解得，

所以.

综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.