2022-2023学年山东省枣庄市薛城区高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省枣庄市薛城区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可得答案.

【详解】由题意得，

故选：C

2．已知命题，，则p的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由否定的定义写出即可.

【详解】p的否定是，.

故选：D

3．“是钝角”是“是第二象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，

当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，

所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，

故选：A

4．如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（    ）

A．-1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦、余弦函数的定义以及诱导公式得出.

【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.

故选：C

5．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】由已知和偶函数的性质将不等式转化为，再由其单调性可得，解不等式可得答案

【详解】因为，则，

所以，

因为为偶函数，所以，

因为在上单调递增，

所以，解得或，

所以不等式的解集为或，

故选：B

6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对称关系可得，利用诱导公式可求得结果.

【详解】的倾斜角为，与满足，

.

故选：D.

7．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.

【详解】将两边同时平方可得，，

可得；

又，所以；

易知，可得；

又,所以.

故选：C

8．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（    ）

A．若，则函数为奇函数 B．若，则函数有最小值

C．若，则函数为增函数 D．若，则函数存在零点

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：取，满足，此时，

其定义域为，关于原点对称，且，此时为偶函数，故A错误；

对B：，令，故若存在最小值，则有最小值，

因为，故，根据对勾函数的单调性可知，有最小值，无最大值，

故当时，有最大值没有最小值，故B错误；

对C：当时，满足，又是单调减函数，是单调减函数，

故是单调减函数，故C错误；

对D：令，即，则，因为，故，

解得，故当，即为函数零点，故D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.

二、多选题

9．已知角的终边与单位圆相交于点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.

【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；

，C正确；

，D错误.

故选：ABC

10．已知，关于x的不等式的解集可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】当时，不等式等价于，解得；

当时，不等式的解集是；

当时，不等式等价于，解得或；

当时，不等式等价于，解得；

当时，不等式等价于，解得或.

故选：BCD

11．已知a，，则的必要不充分条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；

对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；

对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；

对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；

故选：CD

12．已知函数，则（    ）

A．的定义域为 B．是偶函数

C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为

【答案】AD

【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.

【详解】对A，由解析式可知的定义域为，故A正确；

对B，因为，可知是奇函数，故B不正确；

对C,，得，故C不正确；

对D, 当时，，当且仅当时取等号，

故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为          cm．

【答案】

【分析】由弧长与半径、圆心角之间的关系，代入数据即可得解.

【详解】依题意把代入公式得，解得.

故答案为：.

14．已知正数a，b满足，则最小值为      ．

【答案】16

【分析】根据题意可知，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得结果.

【详解】由题可知，，

当且仅当时，等号成立；

故答案为：16

15．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为     ，

【答案】

【分析】原命题等价于命题“，”是真命题

【详解】由题意得若命题“”是假命题，

则命题“，”是真命题，

则需,故本题正确答案为．

【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．

四、双空题

16．设．

（1）当时，f（x）的最小值是     ；

（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是     ．

【答案】          [0，]

【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.

【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，

当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，

则函数的最小值为，

（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，

若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．

若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，

则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，

要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，

即实数a的取值范围是[0，]

【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

五、解答题

17．（1）已知，，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出,即可求得的值；

(2)把要求的式子利用诱导公式化为,进而而求得结果.

【详解】解：（1）∵，，

∴

∴

（2）若，

则.

18．已知全集，集合，．

(1)求；

(2)设集合，若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将集合化简，然后根据集合的交集运算，即可得到结果；

（2）根据题意，分与两种情况分类讨论，列出不等式，即可得到结果.

【详解】（1）因为，

所以，．

所以．

（2）当，即时，，所以；

当，，

则，解得．

综上可得，．

19．在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．

问题：已知函数，，且______．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)单调递增，证明见解析

【分析】（1）若选条件①，根据及指数对数恒等式求出的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据，即可得到，从而求出的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出的值，即可求出函数解析式；

（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

【详解】（1）解：若选条件①．因为，

所以，即．

解得．所以．

若选条件②．函数的定义域为R．因为为偶函数，

所以，，即，

，化简得，．

所以，即．所以．

若选条件③．由题意知，，

即，解得．所以．

（2）解：函数在区间上单调递增．

证明如下：，，且，

则．

因为，，，所以，即．

又因为，所以，即．

所以，即．

所以在区间上单调递增．

20．已知函数，.

(1)若在上单调递减，求实数m的取值范围；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出二次函数的对称轴和单调递减区间，从而列出不等式，求出m的取值范围；

（2）因式分解后，分，和三种情况，求出不等式的解集.

【详解】（1）因为函数，的图象为开口向上的抛物线，

其对称轴为直线．

由二次函数图象可知，的单调递减区间为．

因为在上单调递减，所以．

所以．

（2）由得：．

由得或．

①当时，有，解得；

②当时，解得或；

③当时，解得或．

综上，①当时，不等式的解集是；

②当时，不等式的解集是；

③当时，不等式的解集是．

21．已知函数是定义在R上的奇函数，且时，．

(1)求函数的解析式；

(2)若对任意x恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义求解函数的解析式；（2）根据第一问的解析式，得到函数是定义在R上单调性，结合奇偶性，得到对任意x恒成立，通过参变分离求出答案

【详解】（1）设，则

∴

∵函数是定义在R上的奇函数

∴

∴

∴

又是定义在上的奇函数，所以

∴

（2）∵

∴恒成立

∵是定义在上的奇函数，

∴

∴·

画出的图象如下：

故在上单调递增

∴·

∴

令

∴恒成立

∵在上单调递增

∴

∴

故实数的取值范围为

22．已知函数．

(1)若，求a的值；

(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

(3)若对于恒成立，求实数m的范围．

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；

（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；

（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.

【详解】（1），，即，解得，

所以a的值为

（2）为奇函数，证明如下：

由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，

又，

所以为奇函数；

（3）因为，

又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，

由复合函数的单调性知函数在上为增函数，

所以，

又对于恒成立，所以，所以，

所以实数的范围是