2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由一元二次不等式的解法求出A，由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出．

【详解】

所以

故选：B

2．函数(，且)恒过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令即可求出定点的横坐标，从而可求出定点的纵坐标.

【详解】解：令，解得，则，则定点为.

故选:B.

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用含有一个量词命题的否定规律即可写出结论.

【详解】因命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题“，”的否定是：，.

故选：C

4．下列函数中，值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据的取值范围，即可判断ABC；

对于函数，可得关于的方程有解，得，即可得出y的范围，即可判断D.

【详解】解：对于函数，由于，则，故它的值域不是，故A不满足题意；

对于函数，由于，则，故它的值域不是，故B不满足题意；

对于函数，由于，则，故它的值域不是，故C不满足题意；

对于函数，可得关于的方程有解，

∴，∴可以取任意实数，即，故D满足条件.

故选：D.

5．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可

【详解】∵，，

∴．

故选：C．

6．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.

【详解】当，时，，

则当时，有，解得，充分性成立；

当，时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，再利用函数单调性比较大小即可.

【详解】由得，所以，

又为偶函数，所以的图象关于对称，

所以，，

又在内单调递减，

，即.

故选：D.

8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，然后结合函数单调性解不等式即可

【详解】令，，

所以为奇函数，不等式，

等价于，

即，因为为奇函数，

所以，

因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，

则，解得：

故选：B

【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题

二、多选题

9．实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B，再利用作差法判断D；

【详解】解：因为，所以，故A正确；

令、、、，满足，此时，故B错误；

因为，所以，，所以，故C正确；

因为，则，因为，，

所以，即，故D正确；

故选：ACD

10．已知实数a、b，判断下列不等式中哪些一定是正确的（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】当，时，不成立；当，时，不成立；由利用基本不等式即可判断；由，可判断．

【详解】当，时，不成立；

当时，不成立；

；

，

故，

故选：CD.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题．

11．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数是“理想函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，由函数的奇偶性、单调性的定义可得若函数为“理想函数”，则在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为增函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【详解】解：根据题意，若满足对于定义域内的任意，有，则为奇函数，

若对于定义域内的任意，，当时，有，则在其定义域上为增函数，

若函数为“理想函数”，则在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为增函数，

依次分析选项：

对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为增函数，符合题意；

对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为增函数，符合题意；

对于，，在其定义域上为奇函数，在其定义域上不具有单调性，不符合题意；

对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为增函数，符合题意.

故选：．

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则成为高斯函数，例如：，，已知函数，（）则函数的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用定义说明函数为奇函数，再把函数解析式变形，得到的范围，然后分类求解，即可得出结果．

【详解】∵，，

∴为奇函数，

化，

∵，

∴，

则．

∴当时，，；

当时，，；

当时，.

∴函数的值域是．

故选：AB．

【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学思想方法，解题关键是在解答时要先充分理解的含义.

三、填空题

13．已知幂函数的图象关于原点对称且与轴、轴均无交点，则整数的值为          ．

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.

【详解】因为函数为幂函数，所以解得或，

当时，幂函数为，不满足题意，舍去；

当时，幂函数为，满足关于原点对称且与轴、轴均无交点，

故答案为：.

14．函数的递增区间是       .

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，再求出在定义域内的增区间即可得出.

【详解】令，解得，故的定义域为，

因为的对称轴为，开口向下，

所以在单调递增，

所以的递增区间是.

故答案为：.

15．设函数.若，则的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，利用分段条件分类讨论，列出不等式，结合指数函数与幂函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数，且，

当时，令，即，解得；

当时，令，即，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知，若有三个不同的实数解，则的取值范围是           .

【答案】

【分析】转化条件为直线与函数的图象有3个交点，数形结合即可得解.

【详解】方程有三个不同的实数根，

所以直线与函数的图象有3个交点，

，在直角坐标系中作出的图象,如图，

若要使直线与函数的图象有3个交点，数形结合可得，.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）化简：.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）利用指数运算的知识化简，求得表达式的值；

（2）结合指数式的运算法则以及根式与分数指数幂的转换关系求得结果.

【详解】（1）原式；

（2）原式.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关指数式的化简求值问题，解题方法如下：

（1）利用指数式运算法则化简；

（2）遇到小数化为分数；

（3）遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数.

18．已知集合，.

（1）求集合；

（2）若，，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先化简集合，根据交集的概念，即可得出结果；

（2）根据题意，分别讨论和两种情况，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为集合，

；

所以；

（2）因为集合，

当时，，解得，此时满足；

当时，由题意可得：，解得，此时满足；

综上知，实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概念，集合间的基本关系，以及不等式的解法即可，属于常考题型.

19．已知， ，求关于的不等式的解集.

【答案】答案见解析

【分析】讨论，、、且三种大情况，解不等式得到答案.

【详解】①当时，不等式的解为.

②当时，令解得；

当时，，解得；

当时，，不等式的解集为R；

当且时，由基本不等式得，

解得或.

综上：当时，不等式解集为；

当时， 不等式解集为；

当时， 不等式的解集为R；

当且时，不等式的解集为或.

20．定义在上的奇函数，已知当时，＝.

(1)求在上的解析式；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式；

（2）由题意可得在时恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得的取值范围．

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，

所以，

又，

所以，，

即在上的解析式为；

（2）因为时，，

所以可化为，

整理得，

令，根据指数函数单调性可得，

与都是减函数，

所以也是减函数，

，

所以，

故数的取值范围是.

21．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．

【答案】（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元．

【分析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；

（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.

【详解】（1）当，时，

．

当，时，

．

．

（2）当，时，，

当时，取得最大值（万元）

当，时，

当且仅当，即时等号成立．

即时，取得最大值万元．

综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元．

22．已知函数.

（1）若为奇函数，求的值域；

（2）若对于任意和任意，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先由为奇函数，求出a，在用直接法求出的值域；

（2）由为奇函数，把转化为，利用函数的性质转化为分类讨论，用分离参数法，求出实数的取值范围.

【详解】解（1）为奇函数且定义域为，则，解得，

此时，则，即为奇函数

，，则，因此，函数的值域为；

（2）由（1）知，函数为奇函数，

由，

由于函数在上为减函数，

所以，条件对于任意和恒成立

（i）当时，上式，满足题意；

（ii）当时，上式对于和恒成立

(iii)当时，上式对于和恒成立

设(其中)

由，)

代入（ii）和(iii)可得：，

即实数的取值范围.：

【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.

（2）“恒（能）成立”问题的解决方法：分离变量法，思路是将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧，利用函数求最值.