2022-2023学年甘肃省武威市古浪县第五中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市古浪县第五中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合，再求两集合的交集

【详解】因为，

所以，

故选：A

2．命题“对任意，都有”的否定为（    ）

A．对任意，都有 B．对任意，都有

C．存在，使得 D．存在，使得

【答案】C

【解析】根据特称命题的否定可得答案.

【详解】命题的否定为存在，使得，

故选：C

3．已知“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，则p是q的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】“若p，则q”为假命题，则；

“若q，则p”为真命题，则，

由充分条件和必要条件的定义可知，p是q的必要不充分条件.

故选：B

4．已知函数，则的零点存在于下列哪个区间内（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性即可求解.

【详解】∵，

∴，

∴，

又与在上单调递增，所以在上单调递增，

∴函数的零点所在的一个区间为．

故选：B.

5．若则的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数和对数函数的单调性，比较函数值的大小.

【详解】，即；

，即；

，即.

所以.

故选：D

6．若且，则为第（    ）象限的角.

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义，由三角函数值的符号，判断角所在象限.

【详解】由三角函数的定义可知，时在第一、四象限；时在第二、四象限，

所以且时，在第四象限.

故选：D

7．下列四个函数中是偶函数且在上是增函数的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A选项，不满足单调性；B选项，满足要求；C选项，单调递减；D选项，不满足奇偶性.

【详解】A选项，在上单调递减，不满足要求，A错误；

B选项，定义域为R，，故为偶函数，

又在上单调递增，B正确；

C选项，单调递减，C错误；

D选项，定义域为，又，故不是偶函数，D错误.

故选：B

8．已知的最小值为（    ）

A．12 B．13 C．25 D．26

【答案】C

【分析】利用“乘1法”配凑基本不等式，计算其最小值即可.

【详解】由题

，

当且仅当即时取等号，

由，即当且仅当时取等号.

故选：C.

二、多选题

9．下列式子表示正确的是：（    ）

A． B．

C． D．为第二象限的角，则

【答案】ABD

【分析】对于A，利用弧度与角度的互化方法分析判断，对于BC，利用诱导公式分析判断，对于D，由三角函数在各象限的符号判断

【详解】对于A，，所以A正确，

对于B，，所以B正确，

对于C，，所以C错误，

对于D，为第二象限的角，则，所以D正确，

故选：ABD

10．下列函数中最小正周期为的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由三角函数最小正周期的公式计算验证.

【详解】正弦型函数和余弦型，最小正周期，

函数的最小正周期为，A选项错误；

函数的最小正周期为，B选项正确；

函数的最小正周期为，C选项正确；

函数的最小正周期为，D选项错误.

故选：BC

11．下列选项中描述正确的是（    ）

A．若，则必有 B．若与同时成立，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ABCD

【分析】对A、C：根据不等式性质分析判断；对B、D：利用做差法分析判断.

【详解】对A：∵，则

∴，A正确；

对B：∵，则

又∵，则，即

∴，B正确；

对C：∵且

∴，即，C正确；

对D：

∵，，则

∴，则，即

∴，即，D正确；

故选：ABCD.

12．设正实数a，b满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；

选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；

选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；

选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数的定义域为          .

【答案】.

【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.

【详解】函数有意义，则有，解得，

所以函数定义域为.

故答案为：

14．已知         

【答案】-1

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值.

【详解】.

故答案为：-1

15．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h以下的汽车有      辆．

【答案】20

【详解】试题分析：解：

故答案应填：20

【解析】频率分布直方图.

16．已知函数在上单调递增，则m的取值范围是         .

【答案】

【分析】由二次函数单调性的特征，求解m的取值范围.

【详解】函数在上单调递增，

则有，解得，

则m的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式的值

(1)

(2)计算 .

【答案】(1)3

(2)-6

【分析】（1）由同角三角函数的商数关系，构造齐次式求解；

（2）利用对数式的运算化简求值.

【详解】（1），则.

（2）

18．已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.

【答案】图像见解析，值域为

【分析】把表示为分段函数，作出图像，由图像得函数的值域.

【详解】函数，图像如图所示，

由函数图像可知，当时，函数有最小值0，函数值域为.

19．已知弧长为cm，扇形的面积是，求：

(1)扇形的半径r.

(2)扇形圆心角的弧度数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据扇形面积与弧长的关系可求出半径；

（2）利用弧长公式求解

【详解】（1）因为弧长为cm，扇形的面积是，

所以，解得，

（2）由题意得扇形圆心角

20．函数

(1)判断函数在上的单调性.

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)函数在上的单调递减；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）由定义法判断函数在上的单调性.

（2）由函数单调性求区间内的最值.

【详解】（1）函数在上的单调递减，证明如下：

，任取，

则，

由，则，，

得，即.

所以函数在上的单调递减.

（2）由（1）可知，函数在上的单调递减，

所以在上的最大值为，最小值为.

21．已知函数，.

(1)求的最小正周期及单调增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)；，

(2)最大值为2，最小值为

【分析】（1）利用周期的公式求解，利用整体代入求解单调递增区间；

（2）利用的范围求出的范围，结合的范围可得区间最值.

【详解】（1）的最小正周期为.

令，得，

于是的单调增区间为，.

（2）因为，所以，

因此， ，.

即在区间上的最大值为2，最小值为.

22．设函数．

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）分别在和两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；

（2）将不等式整理为，分别在，和三种情况下求得结果.

【详解】（1）由知：，

当时，，满足题意；

当时，则，解得：；

综上所述：的取值范围为．

（2）由得，

即，即；

当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．

综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．