2022-2023学年江苏省常州市前黄高级中学高一上学期学情检测（一）数学试题含答案

2022-2023学年江苏省常州市前黄高级中学高一上学期学情检测（一）数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（     ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】命题“”的否定是“，”.

故选：C

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

3．“”是 “”的（    ）条件

A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】利用不等式性质可判断充分性，举反例可判断必要性.

【详解】由不等式性质可知，若，则有，

取，显然，但不满足，

所以“”是 “”的充分不必要条件.

故选：B

4．函数的零点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解方程，可得函数的零点.

【详解】解方程，即，解得或，

因此，函数的零点为、.

故选：C.

5．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【解析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，

由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，

由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，

两根之和为，不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

6．下列说法，其中一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．的最小值为

【答案】B

【分析】利用重要不等式判断A、B、利用特殊值判断C，利用对勾函数的性质判断D.

【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，故A错误；

对于B：因为，所以，所以，

即，当且仅当时取等号，故B正确；

对于C：当时，满足，但是，故C错误；

对于D：令，因为在上单调递增，

所以，当且仅当，即时取等号，

即的最小值为，故D错误；

故选：B

7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.

【详解】因为，则，则，

又因为表示不大于的最大整数，

所以不等式的解集为：，

因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，

所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，

选项中只有⫋.

故选：B.

8．某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（   ）

A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定

【答案】A

【分析】根据题意列出不等关系，利用不等关系求的范围可得.

【详解】设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则，

令，即，

则有，解得，

所以，

即.

故选：A

二、多选题

9．若且，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】取特值可判断A，C；由不等式的性质可判断B，D.

【详解】对于A，，则，故A错误；

对于B，由，两边同时乘以，，故B正确.

对于C，若，则，故C错误；

对于D，因为，，则，故D正确.

故选：BD.

10．对于集合，我们把集合叫做集合与集合的差集，记作．现已知集合，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由差集的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】因为，则，故A正确；

，故B正确；

，故C不正确；

，故，故D正确.

故选：ABD.

11．已知，均为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】对A，利用基本不等式即可解得；

对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；

对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；

对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.

【详解】因为，均为正实数，且，

对A, ，当且仅当时取“=”，正确；

对B， ，当且仅当时取“=”，错误；

对C，

，当且仅当时取“=”，正确；

对D，

，设，

则上式，

当且仅当时取“=”，正确；

故选：ACD.

12．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先根据的解集为得到的关系和范围，利用不等式的性质可得的范围.

【详解】由题意满足：，且的两个根为，

所以，，

得，

，

得，因，所以，

，

故，

所以、不满足题意，、满足题意，

故选：BC

三、填空题

13．已知集合，则           .

【答案】

【分析】根据集合相等定义进行求解即可.

【详解】易知．∵，∴，即，∴，．

又由集合中元素的互异性，知，∴，故．

故答案为：

四、双空题

14．定义：闭区间的长度为．可求：不等式的解集区间长度为         ；若不等式的解集区间长度为，则实数的值是      .

【答案】     4     2

【分析】解一元二次不等式即可求出不等式的解集区间长度；解绝对值不等式即可求出实数m的值.

【详解】不等式等价于，

解得：，即不等式的解集为，

所以不等式的解集区间长度为：.

由不等式可得：，解得：，

即不等式的解集为，

因为不等式的解集区间长度为2，所以，

解得：.

故答案为：；

五、填空题

15．设，则的最小值为      .

【答案】

【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

16．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为       ．

【答案】

【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．

【详解】设，

则由题意可得，

因为，所以

①当时，，

只需考虑，

所以，，

所以，可得，当且仅当时取等号；

②当时，，只需考虑，

所以，

可得，当且仅当时取等号.

综上所述，的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件.

六、解答题

17．已知集合．

(1)当时，求和；

(2)请在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答.若__________，求实数的取值范围．

注：若选择两个条件分别解答，则只按第一个解答计分．

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）根据交集和并集含义即可得到答案；

（2）选择①：由题得，分和讨论即可；选择②：，分和讨论即可.

【详解】（1），                                             

当时，，                        

∴．

（2）选择①：若，则，

当时，，即；       

当时，，即.          

综上，实数的取值范围为.        

选择②：若，

当时，，即；                    

当时，，解得，或，无实数解.   

综上，实数的取值范围为.

18．已知关于的不等式的解集为．

(1)求实数的值；

(2)当，且满足时，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)8

【分析】（1）根据不等式的解集，得到方程的两根，由韦达定理得到方程组，求出答案；

（2）由基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】（1）∵不等式的解集为，

∴，且为方程的两个根，

故，

解得或（舍去），．

（2）当时，由（1）得，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为．

19．已知集合，集合．

(1)当时，求；

(2)记，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合，由交集和补集的定义求解即可；

（2）由是的必要不充分条件可得⫋，则，解不等式即可得出答案.

【详解】（1）因为，则，则，

故，当，                       

∴，                                        

所以

（2）∵，∴，

∴，                                                 

 ∵是的必要不充分条件，

即⫋，                                                          

∴，解得，

∴实数的取值范围是．

20．已知命题，命题．

(1)当命题为假命题时，求实数的取值范围；

(2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据为真命题,分离参数得到，得到答案；

（2）根据题意得到命题和一真一假，分两种情况为真，为假时和当为真，为假时，求出参数的取值范围.

【详解】（1）当命题为假命题时，命题为真命题，

，

当时，，

∴，即

∴实数的取值范围为．

（2）∵命题和中有且仅有一个是假命题，

∴命题和一真一假，

当命题为真命题时，，解得或，

①当命题为真，命题为假时，

，解得，

②当命题为真，命题为假时，

，解得，

综上，实数的取值范围为．

21．某城市受空气污染影响严重，现欲在该城市中心的两侧建造两个空气净化站（如图，三点共线），两站对该城市的净化度分别为，其中．已知对该城市总净化效果为两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心到净化站之间的距离成反比．现已知，且当时，站对该城市的净化效果为，站对该城市的净化效果为．

(1)设，求两站对该城市的总净化效果；

(2)无论两站建在何处，若要求两站对该城市的总净化效果至少达到，求的取值范围．

【答案】(1)，．

(2)

【分析】（1）待定系数法求A、B两站对P城市的进化效果与x的关系，然后可得；

（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，利用基本不等式求最值，然后根据题意列不等式求解可得.

【详解】（1）设站对城市的净化效果为，比例系数为，则，

由题意：当时，，即，∴，

设站对城市的净化效果为，比例系数为，则，

由，，即，∴，

两站对该城市的总净化效果，．

（2）由题意得对恒成立，∴只要时即可；

又

，

当且仅当即时等号成立，

则，

令，即，

则，即，

综上，无论两站建在何处，若要求两站对城市的总净化效果至少达到，的取值范围为．

22．已知二次函数，其中．

(1)若且，

①证明：函数必有两个不同的零点；

②设函数在轴上截得的弦长为，求的取值范围；

(2)若且不等式的解集为，求的最小值．

【答案】(1)①证明见解析，②

(2)

【分析】（1）①由题意可得，进而根据判别式为正判断即可；

②由及可得，再根据弦长求解范围即可.

（2）根据开口方向与判别式可得且，进而可得，令，结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）若且，则，

① ∵，

∴函数必有两个不同的零点．

② 由及，得，

∴，

不妨设函数的零点为，则，

∴函数在轴上截得的弦长

（2）根据题意且，

∴且，∴，

令，

则

，

当且仅当，即，也即时取等号．

∴的最小值为．