2022-2023学年云南省保山市高一上学期10月联考数学试题含答案

2022-2023学年云南省保山市高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．下列各组对象能构成集合的是（    ）

A．著名的数学家 B．很大的数

C．聪明的学生 D．年保山市参加高考的学生

【答案】D

【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，对于“著名”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，A错误；

对于B，对于“很大”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，B错误；

对于C，对于“聪明”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，C错误；

对于D，年保山市参加高考的学生具有确定性，能构成集合，D正确.

故选：D.

2．下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据、、、表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断

【详解】解：由表示自然数集，知，故A正确；

由表示有理数集，知，故B正确；

由表示实数集，知，故C错；

由表示整数集，知，故D正确.

故选：C

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由全称命题的否定可直接得到结果.

【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.

故选：D.

4．满足的集合的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】列举出符合题意的集合即可.

【详解】，，，

满足题意的集合有：，，，，，，，，共个.

故选：B.

5．已知a,b都是实数，那么“”是“a>b”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】本小题主要考查充要条件相关知识．依题“>b”既不能推出“>b”；反之，由“>b”也不能推出“”．故“”是“>b”的既不充分也不必要条件．

6．设则的最大值是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】因为

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：D

7．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.

【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，

，解得：.

故选：B.

8．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程，有两个相等的根，则实数（     ）

A．－ B． C．或－ D．或－

【答案】A

【分析】设，可知、为方程的两根，且，利用韦达定理可将、用表示，再由方程有两个相等的根，由求出实数的值.

【详解】由于不等式的解集为，

即关于的二次不等式的解集为，则.

由题意可知，、为关于的二次方程的两根，

由韦达定理得，，，，

，

由题意知，关于的二次方程有两相等的根，

即关于的二次方程有两相等的根，

则，，解得，故选A.

【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、多选题

9．设，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由不等式性质可知ACD正确，通过反例可说明B错误.

【详解】对于A，由不等式性质知：当时，，A正确；

对于B，当时，，B错误；

对于C，，，，C正确；

对于D，，，，D正确.

故选：ACD.

10．（多选）下列命题中是真命题的有（    ）

A．“”是“”成立的充分不必要条件

B．“”是“”成立的充要条件

C．“”是“”成立的既不充分又不必要条件

D．若，则函数的最小值为2

【答案】AC

【解析】根据特殊值或者不等式的性质逐项判断即可.

【详解】解：对A，由不等式的性质知：，则，

当，，满足，

但不满足，

“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；

对B，由不等式的性质知：，则，

当时，满足，但不满足，

“”是“”成立的充分不必要条件，故B错误；

对C，当时，满足，但，

当时，满足，但，

“”是“”成立的既不充分又不必要条件；故C正确；

对D，令，则，

，，

根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，

，故D错误.

故选：AC.

11．下列不等式的推导过程正确的是

A．若，则.

B．若，则.

C．

D．

【答案】AB

【解析】利用基本不等式判断AB；利用特例法判断CD.

【详解】对于A，因为，所以，当即时等号成立，正确；

对于B，因为，所以，则，当，即时等号成立，正确；

对于C，当异号时，，故不正确；

对于D，当时，，故不正确，

故选：AB.

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

12．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a－b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ）

A．0，１是任何数域中的元素； B．若数集M，Ｎ都是数域，则是一个数域；

C．存在无穷多个数域； D．若数集M，Ｎ都是数域，则有理数集．

【答案】ACD

【分析】利用数域的定义，对选项依次判断,正确的选项要证明其一般性，错误的选项给出反例即可.

【详解】对于A选项：由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素，所以有，故A对;

对于B选项：假设数域，，所以当时，且，

故,故B错;

对于C选项：可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z,

集合都是数域，这样就有无穷多个数域，故C对；

对于D选项：在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集，

下证：因为0，１是任何数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，

故所有整数都属于数域P，

又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数也均在数域P中，即，

所以,自然有，故D对.

故选：ACD

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

三、填空题

13．已知集合，若，则实数a等于        

【答案】3

【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解.

【详解】因为，所以，即，

解得或，

经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾；

时，，满足题意.

故答案为：3

14．命题“，”为假命题，则实数的最大值为           .

【答案】

【分析】根据特称命题为假命题可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的最大值.

【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.

因此，实数的最大值为.

故答案为：.

15．函数的图象如图所示，则不等式的解集是        .

【答案】

【分析】根据图象可直接得到结果.

【详解】若，则，

由图象可知：当时，，的解集为.

故答案为：.

16．已知，，，则的最小值为        .

【答案】/

【分析】将所求式子化简整理为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．设集合，，，求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；

（2）根据补集和并集定义可求得结果；

（3）根据补集和交集定义可求得结果.

【详解】（1）由并集定义知：.

（2），.

（3），或，

.

18．已知集合，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由交集的结果求的值；

（2）由补集运算求，再根据集合的包含关系列不等式求的取值范围．

【详解】由已知得：，．

（1）∵，

∴，可得．

（2）或，又，

∴或，即或．

∴的取值范围是或．

19．已知全集为R，集合，集合或.

(1)若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意可知，集合是集合的真子集，结合数轴即可求解；

(2)根据题意，先求出，再求出满足时的范围，再求补集即可.

【详解】（1）由是成立的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集，因 ，或，所以或，

解得.

（2）由或，得，

若，则或，即，因，

所以.

20．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

21．设，，且．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)结合条件等式，利用基本不等式求的最值，(2)由条件，利用基本不等式求其最值.

【详解】（1）当且仅当时等号成立．

∴当时有最大值．

（2）

（取等号）

22．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析.

【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.

(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.

【详解】（1），恒成立等价于，，

当时，，对一切实数不恒成立，则，

此时必有，

即，解得，

所以实数的取值范围是.

（2）依题意， ，可化为，

当时，可得，

当时，可得，又，

解得，

当时，不等式可化为，

当时，，解得，

当时，，解得或，

当时，，解得或，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或.