2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高一下学期综合评价考试（一）数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高一下学期综合评价考试（一）数学试题

一、单选题

1．下列各命题中，正确的是（    ）

A．若，则或

B．与非零向量共线的单位向量是

C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量

D．若，则

【答案】C

【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.

【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；

对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；

对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；

对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.

故选：C.

2．已知A(2，-3)，=(3，-2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为　(　　)

A．B(5，-5)，M(0，0) B．B(5，-5)，M

C．B，M(0，0) D．B，M

【答案】B

【分析】先根据向量的坐标和点的坐标之间的关系求出的坐标，根据中点坐标公式，即可得到的中点坐标．

【详解】设，

，，

，，；

；

即；

线段的中点坐标为：，即，；

故选：B

3．设，向量，且，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，向量，由得，解得；由得，解得，，，故选B,

4．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件及余弦定理的推论即可求解.

【详解】由，得，

由余弦定理的推理得，

又因为,

所以.

故选：C.

5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.

6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选A.

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，利用正弦定理可得：，化为，可得，又，再利用余弦定理可得，即可得出．

【详解】解：，由正弦定理可得：，，，，

又，．

，

，

则.

故选：A．

8．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（　　）

A．2﹣ B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．

【详解】∵，

∴||=1，||=﹣1，

故答案为 C.

【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

二、多选题

9．下列命题中错误的是（    ）

A．的充要条件是且 B．若则

C．若则或 D．

【答案】ABC

【分析】直接利用向量共线的充要条件,三角形法则的应用判断A、B、C、D的结论：

对于A: 利用的充要条件判断；

对于B: 取特殊向量，进行否定；

对于C: 取特殊位置，进行否定；

对于D:根据向量加、减法的三角形法则进行判断.

【详解】对于A: 的充要条件是且方向相同，故A错误；

对于B: 若， 则，若，则不一定平行.故B错误；

对于C: 若， 也可能为，故C错误；

对于D:根据向量加、减法的三角形法则: 成立,故D正确.

故选:ABC

10．下列能化简为的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据向量的线性运算分别判断即可．

【详解】解：对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D不合题意；

故选：ABC．

11．已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.

【详解】设，则，

当点P靠近点时，，

则，

解得，

所以，

当点P靠近点时，，

则，

解得，

所以，

故选：AD

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12．在中，有如下四个命题正确的有（    ）

A．若，，，则有两解

B．若，则的形状为等腰三角形

C．若，，则面积的最大值为

D．若，则点必为的外心

【答案】AC

【分析】对于A，利用正弦定理及大边对大角即可求解；

对于B，利用向量加法的平行四边形法则及矩形的性质即可求解；

对于C，利用余弦定理及重要不等式，结合三角形的面积即可求解；

对于D，利用向量的线性运算及向量垂直的条件，结合三角形垂心的概念即可求解.

【详解】对于A，由，，，可得，又，即，为锐角，可得有两解，故A正确；

对于B，依题意，由向量加法的平行四边形法则，作出图形如图所示，

由，得平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形，所以,

所以的形状为直角三角形，故B错误；

对于C，由余弦定理得

当且仅当时，等号成立，所以，所以，

所以面积的最大值为，故C正确；

对于D，因为，所以，即，也即，

于是有,所以点在边的高上，同理点也在其它两边的高上，所以点为的垂心，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．设，为两个不共线向量，若向量与共线，则实数        .

【答案】/2.5

【分析】根据向量共线定理，得到方程组，求出答案.

【详解】与共线，故存在实数，使得，

即，

所以，解得.

故答案为：

14．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则      .

【答案】2

【分析】直接利用余弦定理得到答案.

【详解】，，

（舍去）

故答案为2

【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.

15．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且＝2，则·＝        .

【答案】

【分析】利用向量三角形法则将转化为即可求解.

【详解】由题意知，，且.

又由知，，

所以

故答案为：.

四、双空题

16．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是     ，的最小值是     ．

【答案】         

【分析】根据投影的定义求得在方向上的投影即可得投影向量，求出，结合二次函数性质可得最小值.

【详解】由题意，

在方向上的投影为，在方向上的投影向量为；

，

所以时，取得最小值3，取得最小值.

故答案为：；.

五、解答题

17．设向量

（1）若向量 与向量 平行，求 的值；    

（2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值.

【答案】（1）；（2）1或.

【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；

(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.

【详解】（1），  

向量 与向量 平行，

（2）因为 ， ，  

因为 与 互相垂直，所以 ，     

即 ，

，解得 或 .

18．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理处理，得到角C的大小，即可；

（2）利用余弦定理，求得的值，结合三角形面积计算公式，即可．

【详解】（1）由已知及正弦定理，.

因为为锐角，则，所以.因为为锐角，则.

（2）由余弦定理，，则，即，

即.因为，则.

所以的面积.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：

（1）利用正弦定理，将题中式子进行边角转化，结合锐角三角形的条件，求得角的大小；

（2）利用余弦定理，结合（1）的结果以及（2）中条件，列出等量关系式，求得边长的值，再利用三角形面积公式求得结果.

19．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.

(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？

(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？

【答案】(1)120海里

(2)能在3小时内赶到救援

【分析】（1）由题意，在中，根据正弦定理即可求解；

（2）在中，根据正弦定理求得，进而在中，利用余弦定理求出，而，从而即可作出判断.

【详解】（1）解：在中，因为，，

所以，，又，

所以由正弦定理可得，即，解得，

所以A船距离雷达站C距离为120海里；

（2）解：在中，根据正弦定理可得，即，解得，

在中，由余弦定理可得，解得，

因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，

所以能在3小时内赶到救援.

20．在中，，，，，.

(1)求的值；

(2)求实数的值；

(3)若，与交于点，，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)4

【分析】（1）利用数量积的定义即可求解；

（2）利用向量的线性运算即可求解；

（3）利用向量的线性运算及向量的共线定理即可求解.

【详解】（1）

（2），

所以，即，

又因为，

所以.

（3）设，.

由，得，

所以

.

从而.

而.

由，得，

解得.