2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期3月质量监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期3月质量监测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期3月质量监测数学试题 一、单选题1．已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；对于B，假设共线，则存在，使得，即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；对于D，假设共线，则存在，使得，即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，故选:C.2．函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】解：函数在上单调递减，又，，，所以，则有唯一零点，且在区间内.故选：C3．已知，，，则等于（    ）A．12 B．28 C． D．【答案】C【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到.【详解】，故.故选：C4．已知函数，则的值是（    ）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根据的范围代入到对应的函数求值即可.【详解】由题意可得，，.故选：D.5．在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可知，向量，的夹角为150°，再由平面向量数量积的定义即可得出答案.【详解】由题知，，，向量，的夹角为150°，所以.故选：A．6．若，则为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】原式分子分母除以，即可求出，再利用两角和的正切公式，即可求得结果.【详解】由，得，则.故选：B7．等式有意义，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，由三角函数的有界性得出等式右边的范围，解不等式可得的取值范围．【详解】，则，即，且，化简得，平方得，即解得故选：C8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）A．72 B．74 C．76 D．78【答案】B【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．【详解】由于，所以，依题意，则，则，由，所以，即，所以所需的训练迭代轮数至少为74次．故选：B 二、多选题9．下列叙述不正确的是（    ）A．若，则B．“”是“”的充分不必要条件C．命题：，，则命题的否定：，D．函数的最小值是4【答案】BD【分析】对于A．由不等式的性质验证；对于B．解对数不等式，再判断；对于C．由全称命题的否定验证；对于D．举反例．【详解】对于A．由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，故A正确；对于B．由得，则，即“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；对于C．由全称命题的否定知，命题：，，的否定为，，故C正确；对于D．当时，，故函数的最小值不为4，故D错误．综上所述，选项BD不正确，故选：BD.10．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据向量相等、向量的模、向量的数量积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，是两个单位向量，单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.当时，，所以C选项结论错误.故选：AC11．下列选项中其值等于的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确．故选：BD.12．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(    )A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据向量相等的定义可直接判断D；根据题意可判断A；根据重心的性质可判断B；利用向量数乘和加减法法则可判断C.【详解】如图：根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且.对于A，∵，∴，故A正确；对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，显然不正确.故选：ABC. 三、填空题13．已知向量，，若三点共线，则      .【答案】【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案．【详解】三点共线，与共线，，解得．故答案为：．14．若指数函数的图象经过点，则不等式的解集是                      ．【答案】【分析】设指数函数（且），将点代入求出解析式，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解.【详解】由题意设函数（且），因为的图象经过点，所以，解得，所以，因为，即，所以由在上递减得，解得，故答案为：15．赵爽是我国古代数学家､天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为169，小正方形的面积为49，若直角三角形较小的锐角为，则的值为           .【答案】【分析】设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，求出，，即得解.【详解】解：设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，所以，即，解得或（舍去），直角三角形较小的锐角为，可得，所以.故答案为： 四、双空题16．如图，在平面四边形ABCD中，，，，E，F分别为边BC，CD的中点，则        ；与夹角的余弦为        .【答案】          【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解.【详解】以AD为x轴，以AC为y轴建立直角坐标系，则：，，，故：；【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，计算向量的数量积以及夹角的求解. 五、解答题17．已知向量，.(1)当时，求的值；(2)当，，求向量与的夹角.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解.【详解】（1）向量，，则，由，可得，即，即，解得或.（2）由，，则，由，可得，解得，所以，，，又，所以.18．如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，（1）利用单位圆､向量知识证明：（2）若，，，，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案．【详解】（1）由题意知：，且与的夹角为，所以，又，，所以，故．（2）且，则；，则，又，，，【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．19．已知函数．(1)当时，求关于x的不等式的解集．(2)若，求关于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；（2）不等式因式分解得到，分，与三种情况，求出不等式的解集.【详解】（1）时，，解得：，故解集为；（2）时，，变形为，当时，，解得，当时，解得，当时，，解得，综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.20．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．(1)用，表示，；(2)如果，，且，求．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出.【详解】（1）解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，所以，.（2）解：由（1）可知，，所以，由，可得，所以．21．已知向量，，.（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，；；（2）.【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围.【详解】（1）因为所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，，所以，，解得，，所以函数的单调增区间为，；（2）不等式有解，即；因为，所以，又，故当，即时， 取得最小值，且最小值为，所以.22．已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．（3）问题转化为r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范围即可．【详解】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（）=﹣，可得k＜﹣．（3）g(x)==x+﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2x在x∈[﹣1，1]上有零点，即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，即r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，令t=，则r=2t2﹣3t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），∴﹣≤r≤3，∴r的范围是[﹣，3]．