2022-2023学年云南省昆明师范专科学校附属中学高一下学期6月质量监测数学试题含答案

2022-2023学年云南省昆明师范专科学校附属中学高一下学期6月质量监测数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求.

【详解】，

故选：D.

2．已知向量，若，则实数等于（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】利用平面向量的共线的坐标表示即可求解.

【详解】由题意可得，

解得.

故选：C

3．若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系是（    ）

A．不相交 B．平行 C．异面 D．相交

【答案】A

【分析】由两线的位置关系的定义判断即可

【详解】由题，直线a，b分属两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交，

故选：A

4．设复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由复数的除法运算化简复数，根据共轭复数的概念得出，从而得到答案.

【详解】由题意知，，

则，所以的虚部为，

故选：D.

5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】由正弦定理求得，然后由三角形的性质求得A．

【详解】由正弦定理，

得，

因为，所以，

故选：A.

6．在中，是的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的加减运算和中线向量的表示，计算可得所求向量.

【详解】在中，为边上的中线，为的中点，

所以

，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加减运算法则，以及向量共线时的表示方法，再有就是中线向量的表示，属于简单题目.

7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用余弦定理求出，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：由余弦定理，解得.

故.

故选：B

8．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.

【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，

因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形，

所以，解得，则或（舍去），

由得，，

则上半部分的体积为，下半部分体积为，

故蒙古包的体积为.

故选：C.

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.

【详解】根据复数的线性运算，

对A，化简为，错误；

对B，即，即，正确；

对C，对移项可得，正确；

对D，由，移项即，正确；

故选：BCD

10．以下条件能够判断平面与平面平行的是（    ）

A．平面内有两条直线与平面平行

B．两不同平面，平行于同一个平面

C．平面内的任意一条直线与平面无公共点

D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等

【答案】BC

【分析】由面面平行的判定定理和面面的位置关系即可判断.

【详解】对于选项，由面面平行的判定定理可知，若平面内有两条相交直线与平面平行，则平面与平面平行，则不正确；

对于选项,平行于同一个平面的两个平面平行，则正确；

对于选项,两个平面的位置关系有平行和相交两种，平面内的任意一条直线与平面无公共点，则平面与平面无公共点，即平面与平面平行，则正确；

对于选项,相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况，则不正确．

故选：.

11．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为 B．

C．为纯虚数 D．在复平面上对应的点在第四象限．

【答案】BD

【分析】先由复数的运算求出，共轭复数的概念求出，即可判断各选项的正误．

【详解】因为，所以的虚部为，A 错误；而，即， 在复平面上对应的点在第四象限，BD正确；因为，所以，C错误．

故选：BD．

12．以下命题（其中表示直线，表示平面），其中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据线线、线面关系对选项一一分析即可.

【详解】对于A，若，若，也可满足条件，故A错误；

对于B，若，由线面平行的性质知，在平面内找到一条线分别与直线平行即可，由平面内的线线关系知，直线可以存在相交，异面直线，平行等情况，故B错误；

对于C，若，此时若，也可满足条件，故C错误；

对于D，由线面平行的性质知，若，则，故D正确；

故选：ABC

三、填空题

13．是虚数单位，则的值为          .

【答案】

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．

【详解】．

【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

14．已知，，，若，则      .

【答案】

【解析】根据题意，由向量的坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.

【详解】因为，，，

若，则，解得，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.

15．已知向量，，，则实数k的值为      ．

【答案】

【分析】根据两个向量垂直其数量积为，列出等式求解即可.

【详解】因为，所以，即，

又因为，，所以，，

所以，解得

故答案为：

16．在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为      ．

【答案】

【分析】由正棱锥性质及已知条件得其为正四面体，将正四面体补成正方体，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，求出正方体棱长得对角线长即为外接球直径，从而可得球表面积．

【详解】，正三棱锥中，所以，

侧面是正三角形，则正三棱锥为正四面体．

将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），

则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为，

则其外接球的半径，所以该正三棱锥外接球的表面积为．

故答案为：．

四、解答题

17．求实数的值或取值范围，使得复数分别满足：

(1)是纯虚数；

(2)是复平面中对应的点位于第二象限.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由实部等于零，且虚部不为零求解即可，

（2）由实部小于零，虚部大于零列不等式组求解.

【详解】（1）由题意得，解得；

（2）由题意得，则，

解得.

18．（1）已知平面向量与的夹角为，，，求的值.

（2）已知，，且向量与向量的夹角，求向量在向量上的投影向量．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先求解，进而得到的值；

（2）先计算出向量在向量上的投影长度，进而求出投影向量.

【详解】（1）因为，，与的夹角为，

，

所以.

（2）设与向量方向相同的单位向量为，则．

向量在向量上的投影长度为：，

所以向量在向量上的投影向量为

19．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且，再从条件①､条件②中选择一个作为已知.

（1）求的值；

（2）求的面积.

条件①：；条件②：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）选择条件①，由正弦定理求得，由余弦定理可得的值；选择条件②，由正弦定理可得，，由余弦定理可得的值；

（2）由的值可求出的值，最后由三角形面积可得结果.

【详解】（1）选择条件①：，

由正弦定理知，，

∴，

由余弦定理知，，

∵，，

∴，

化简得，解得或，

当时，，与题意矛盾；

当时，，符合题意，

∴.

选择条件②：，

由正弦定理知，，

∴，

由余弦定理知，，

∵，，

∴，解得.

（2）∵，，

∴，

∴的面积.

20．如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．

(1)用，表示；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)3.

【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；

（2）根据（1）的结论，转化用，表示，

根据三点共线找出等量关系；

【详解】（1）在中，由,

又，

所以，

所以

（2）因为，

又，

所以，，

所以，

又三点共线，且在线外，

所以有：，

即.

21．如图所示，在正六棱锥中，O为底面中心，，．

(1)求该正六棱锥的体积和侧面积；

(2)若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积．

【答案】(1)，

(2)表面积为，体积为

【分析】(1) 正六棱锥的几何特征，再应用体积和侧面积公式求解即可;

(2) 正六棱锥的几何特征，根据球的表面积和体积求解即得.

【详解】（1）由条件可知正六边形ABCDEF的边长为4，

所以底面积为，            

该正六棱锥的体积为．            

正六棱锥的侧棱长为，                  

侧面等腰三角形的面积为，          

故该正六棱锥的侧面积为．

（2）球心M一定在直线SO上，设球M的半径为R，

则，

又，

所以，解得．                   

所以球M的表面积为，             

体积为

22．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD.

(1)若PC=5，求四棱锥P- ABCD的体积；

(2)若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长.

【答案】(1)12

(2)

【分析】(1)由锥体体积求四棱锥P-ABCD的体积；(2)由直线AD与BP的夹角为60°可得,由此可求，再解三角形求PD的长.

【详解】（1）∵ PD⊥平面ABCD，平面，

∴ 点到平面的距离为，，

∵ ，,

∴ ，

∵ 底面ABCD为正方形，边长为3，

∴ 底面ABCD的面积为9，

∴ 四棱锥P- ABCD的体积，

（2）∵ ，

∴ 直线AD与BP的夹角的平面角为，∵ 直线AD与BP的夹角为60°，

∴ ，

设，则，，

在中，，，，

由余弦定理可得

∴ ，

∴ .