2022-2023学年云南省大理州下关一中教育集团高一下学期段考（二）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年云南省大理州下关一中教育集团高一下学期段考（二）数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省大理州下关一中教育集团高一下学期段考（二）数学试题 一、单选题1．复数在复平面内对应的点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：C．2．设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由甲是乙的必要条件，知乙能推出甲。由丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件,知丙能推出乙，乙不能推出丙，由此能导出丙是甲的充分不必要条件。【详解】∵甲是乙的必要条件，∴乙能推出甲.∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙能推出乙，乙不能推出丙，所以丙能推出甲，甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要条件。（如下图）故选A.  3．在中，已知，，，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】结合正弦定理求得正确答案.【详解】由于，所以是锐角，由正弦定理得，，解得，所以.故选：B4．已知，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的单调性以及中介值“0”或“1”，比较即可.【详解】因为在上单调递减，又，所以，因为在上单调递增，又，所以，因为，所以，所以，故选：B.5．已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为和，则此球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题，得三棱锥的外接球，即长宽高分别为和的长方体的外接球，求出长方体外接球的体积，即可得到本题答案.【详解】由题意可得，球的内接三棱锥即三棱锥的外接球即长宽高分别为和的长方体的外接球，又长方体的体对角线长为外接球的直径，所以球的半径，球的体积为.故选：D.6．某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，举办2022年“一二•九”文艺汇演，高三（1）班的大合唱“保卫黄河”的12位评委的打分如下：8.4，9.3，8.9，8.8，8.6，8.2，8.5，8.4，9.2，8.8，8.7，9.4，则这组数据的（    ）A．极差为1 B．众数为8.4C．80%分位数为8.9 D．第三四分位数为9.05【答案】D【分析】根据数据的极差、众数、百分位数的定义即可判断ABCD.【详解】数据的极差、众数、百分位数这组数据从小到大排为8.2，8.4，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8，8.8，8.9，9.2，9.3，9.4（易错：对12个数据一定要从小到大排序的情况下进行数据分析），则极差为故选项A错误；由于众数为8.4和8.8，故选项B错误；由于，则80%分位数为9.2，故选项C错误；由于，则第三四分位数为故选项D正确．故选：D．7．定义运算如果，，满足等式，函数在单调递增，则取最大值时，函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的解析式，根据已知条件求出的值，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可得出的最大值，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】，因为，所以，，而，所以，即，当时，，因为在上单调递增，所以，，解得，当取最大值时，的最小正周期，故选：A．8．已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【详解】令，由题意知在上为减函数，又为上的偶函数，所以为上的奇函数，又在上为减函数，，所以在上为减函数，①当时，，即，所以，所以，解得；②当时，，即，所以，所以，解得.所以或.故选：D. 二、多选题9．某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（    ）A．在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取B．抽样比为C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的【答案】BCD【分析】根据三种随机抽样方法的特点可判断ABD；然后根据分层抽样计算可判断C.【详解】因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误；在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为，故B正确；在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确．故选：BCD10．已知向量，下列结论正确的是（    ）A．与能作为一组基底B．与同向的单位向量的坐标为C．与的夹角的正弦值为D．若满足，则【答案】ACD【分析】对于A两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B与向量同向的单位向量为；对于C可以用夹角公式先求夹角的余弦，再用平方关系求正弦；对于D代模长公式计算即可.【详解】对于A，因为，所以不存在实数使得，所以与能作为一组基底，故A正确；对于B，因为，所以，所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误；对于C，因为，所以与的夹角的正弦值为，故C正确；对于D，因为，所以，解得，故D正确．故选：ACD．11．已知函数的最小正周期为，则（    ）A．B．的图象经过点C．的定义域为D．不等式的解集为，，【答案】BCD【分析】根据正切型函数的图象与性质逐一计算即可.【详解】由正切函数的周期，解得．故A错误；因为，所以的图象经过点．故B正确；令，，得，，即的定义域为．故C正确；令，则，所以，，得，，即不等式的解集为，．故D正确；故选：BCD12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．AC⊥BD1 B．A1P的最小值为C．A1P⊥平面ACD1 D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C错误；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D正确；故选：ABD 三、填空题13．已知函数，则函数的值为          .【答案】【分析】令，求出，再代入计算可得.【详解】解：因为，令，解得，所以.故答案为：14．设空间向量，，若，则＝      ．【答案】3【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案.【详解】，则显然，，解得，则，，故答案为：3.15．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为  ．    【答案】/【分析】根据旋转之后的几何体为圆台去掉半球体，根据圆台与球体的体积公式求解即可.【详解】如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉一个半球体  则旋转一周所形成的几何体的体积为.故答案为：.16．已知在中，，则角的最大值为          ．【答案】/【分析】根据题设作出示意图，令、，利用差角正切公式求，应用基本不等式求其最大值，即可得的最大值，注意取值条件.【详解】由题意，作，如图所示，令，则，设，则，，所以，则，当且仅当时，取得最大值.故答案为： 四、解答题17．（1）求式子 lg 25＋lg 2＋ 的值（2）已知tan ＝2.求2sin2－3sin cos ＋cos2的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用的对数性质计算即可；（2）利用三角函数同角关系计算即可.【详解】= ； ， 在第一或第三象限， ， ，若 在第一象限，则 ，若 在第三象限，则 ，不论 是在第一或第三象限，都有 ，原式 ； 综上，答案为： ，.18．在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且．(1)求直线与平面所成的角的正弦值大小；(2)求点P到平面的距离．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据线面角的定义找出直线与平面所成的角，再求其正弦值即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，用点到平面的距离公式即可求解.【详解】（1）连接，由正方体的结构特点易知面，为垂足，所以即为所求的线面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴．（2）以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知，，，，，所以，，，设面的法向量为，故有，令，则，故，故点P到平面的距离．19．某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，整理得到如图表所示的甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）(1)求出频率分布直方图中的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较和的大小；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按天计算）的销售总量.【答案】(1)，作图见解析(2)(3)箱 【分析】（1）利用矩形面积之和列出方程，计算出；（2）计算出平均数，进而计算出、，比较出大小；（3）在第二问的基础上，进行求解【详解】（1）由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得：，解得:，根据表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示；（2）记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为、，则，，∴，∴；（3）由（2）得乙种酸奶的平均日销售量为箱，∴乙种酸奶未来一个月的销售总量为（箱）.20．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值－3.(1)若，求的单调递减区间；(2)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用已知函数最值，周期及图像上的点求出的解析式，由，求出函数的解析式，在根据新函数求解单调区间减即可；（2）当时，函数有两个零点，问题转化为与有两个不同的交点，画出在上的图像，结合图像列出不等式即可解决问题.【详解】（1）由函数最大值为3，最小值－3，所以，在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以,所以,又，所以，所以，即又，所以当时，，所以函数，因为所以令，，得，，所以的单调递减区间为.（2）令，即，所以当时，函数有两个零点，问题转化为与有两个不同的交点，因为，所以，令，则如图所示：              由图像可得：，解得：，所以当时，函数有两个零点，则实数的取值范围.为：.21．如图所示的多面体中，菱形，是矩形，⊥平面，，. （Ⅰ）异面直线与所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面⊥平面；（Ⅲ）在线段取一点，当二面角的大小为60°时，求.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，找到就是异面直线与所成的角；（Ⅱ）通过证明，得到就是二面角的平面角；（Ⅲ）引入变量，通过坐标法求解.试题解析：（Ⅰ）因为，所以就是异面直线与所成的角，连接，在中，，于是，所以异面直线与所成的角余弦值为.（Ⅱ）取的中点.由于面，，∴，又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，，所以，就是二面角的平面角经计算，所以，即.所以平面平面.（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由，则.平面的法向量.设，则设平面的法向量，则得，令，则，得.因为二面角的大小为60°，所以，整理得，解得所以.点晴：本题考查是空间的直线与直线所成的角，平面与平面垂直的判定以及平面和平面所成的二面角问题.解答时第一问充分借助，得到就是异面直线与所成的角，第二问中通过证明，利用二面角的定义得到就是二面角的平面角；第三问中引入变量，通过坐标法求解即可.22．在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式求得的值，可求得的值，利用两角和与差的余弦公式可得出，求出的值，即可得出结果；（3）推导出，，利用平面向量的数量积结合正弦定理以及三角恒等变换可求得的值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为、，则，，，故；（2），可得，则，，，，因为，所以，，因此，；（3）取的中点，则，如下图所示：，同理可得，设的外接圆半径为，因为，故，即，即，则有，整理可得.