2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市四校高一下学期开学考试数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市四校高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．下列运算错误的是（     ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】根据指数幂运算分别计算判断各个选项即可.

【详解】,A选项正确;

,B选项正确;

,C选项错误;

,D选项正确.

故选:C.

2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．且

【答案】D

【解析】根据题中式子列出关于的不等式组，可得的取值范围.

【详解】解：根据题意，得，解得且.

故选：D.

【点睛】本题主要考查不等式的性质及计算，考查基础的知识及计算，属于基础题.

3．已知集合，，若，则实数a的值为（    ）

A．1或-1 B．1 C．0 D．-1

【答案】D

【分析】根据给定条件可得，再列式计算并验证作答.

【详解】因，则，而集合，，

则有或，解得：或，

当时，，，符合题意，当时，，不符合题意，则，

解得：，显然不符合题意，

所以实数a的值为-1.

故选：D

4．命题：，的否定形式为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】由题意，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故为，.

故选：D

5．多项式因式分解的结果是（　　）.

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案.

【详解】

故选：D.

6．是的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由显然成立，通过举反例得出，故由充分不必要条件的定义可知答案.

【详解】由题意可知，反之不成立，

例如令，即，

则是的充分不必要条件，

故选：A.

7．一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（    ）

A．有两个正根

B．有一正根一负根且正根的绝对值大

C．有两个负根

D．有一正根一负根且负根的绝对值大

【答案】B

【解析】根据判别式大于及韦达定理得有一正一负两根排除Ａ，Ｃ，由两根之和为负得Ｂ正确

【详解】由，可知，所以方程有两个不相等的实数根.

设方程的两个根为，，则，，由得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ

由和可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解，考查韦达定理的应用，是基础题

8．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项.

【详解】令，，，则，，，

故排除A、B、D、

故选：C.

9．甲､乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据韦达定理解出值，则得到不等式，解出即可.

【详解】根据韦达定理得，则，则原不等式为，

解得，即解集为，

故选：B.

10．函数和的图象如图所示，有下列四个说法：

①如果，那么；

②如果，那么；

③如果，那么；

④如果时，那么.

其中正确的是（      ）.

A．①④ B．① C．①② D．①③④

【答案】A

【分析】结合函数和的图象，逐项判定，即可求解.

【详解】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，

所以，若，可得，所以①正确；

当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，

所以，若，可得，所以②错误；

由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；

当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，

所以，若时，可得，所以④正确.

故选；A．

二、填空题

11．“”是“”的      条件（填“充分”或“必要”）．

【答案】充分

【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由可得，，则“”是“”的充分条件.

故答案为：充分.

12．已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是      .

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据立方和公式，结合配方法，利用韦达定理，可得答案.

【详解】由，则，由，则，

利用配方法，可得，由，解得，

故答案为：（答案不唯一）.

13．函数的图象如图所示，则不等式的解集是              .

【答案】

【分析】先根据图像判断对应的二次方程的根，得到系数的关系，再代入求解分式不等式即可.

【详解】以图象可知，方程的根为1和2，故，，

即，，所以不等式即，即，等价于，故解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二次函数图像与对应二次方程的根之间的关系，考查了分式不等式的解法，属于基础题.

14．存在使不等式成立，则的取值范围是    

【答案】

【详解】由题意得

三、解答题

15．（1）计算: ；

（2）化简: .

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）通过指数运算公式及绝对值的定义即可计算；

（2）通过分式运算法则即可运算.

【详解】（1）原式;

（2）原式,

.

16．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．

(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；

(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．

【答案】(1)a＝﹣1，b＝2

(2)见解析

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；

（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】（1）由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，

所以，解得a＝﹣1，b＝2；

（2）当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，

即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，

当即时，解集为；

当即时，解集为或；

当即时，解集为或.

17．如图，以边长为4的正方形的中心为原点，构建一个平面直角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）．

(1)（i）请用列表的方法，表示出点的坐标的所有可能的结果；

（ii）求点在正方形中（含正方形内部和边界）的概率．

(2)试将正方形平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点在正方形中的概率为？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）

(2)答案见解析

【分析】（1）（i）用列表法写出点的坐标的所有可能的结果即可；（ii）由古典概型计算即可得答案；

（2）要使点在正方形中的概率为，则需有且只有12个点落在正方形中（含正方形内部和边界），由此即可写出答案.

【详解】（1）（i）设，则点坐标的所有可能结果如下表所示．

（ii）由（i）知构成的点的坐标共有36种情况，其中在正方形中的有，，，这4种情况．

∴点在正方形中的概率为．

（2）∵点在正方形中的概率为，

∴只能将正方形向上或向右平移整数个单位长度，且使点P在正方形中的情况有12种，

∴满足要求的平移方式有两种，一种是将正方形先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度（先向右再向上亦可）；另一种是将正方形先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度（先向右再向上亦可）．

18．（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若方程在有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由解集端点求出参数，即可进一步解不等式；

（2）原命题等价于在恒成立，即.

（3）对方程参变分离，则原命题等价于，有解，求等式右侧值域即可得范围.

【详解】（1）若不等式的解集为，即1，2是方程的两个根，则，即，

由得，即得，得或，

即不等式的解集为.

（2）解：不等式在恒成立，即在恒成立，

故，解得，故的取值范围为.

（3）解：由，得，即，

若方程在有解，等价为有解，

，，即，即，则，

即实数的取值范围是.