2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四十中学高一下学期开学考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四十中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.

【详解】依题意，，

由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或，

所以.

故选：D

2．已知集合，，若，则实数的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由交集的结果，根据及集合的性质，即可求的值.

【详解】由，而，故，

故选：B.

3．以下给出了4个函数式：①；②；③；④.其中最小值为4 的函数共有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质可判断③符合题意，根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出①④符合题意，②不符合题意．

【详解】对于①，因为，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，①符合题意；

对于②，，函数定义域为，而且，如当，，②不符合题意．

对于③，，当且仅当时取等号，所以其最小值为4，③符合题意；

对于④，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，④符合题意.

所以一共有个.

故选：B

4．设为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据函数为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，函数为单调递增函数，

当时，可得，即成立，

当，即时，可得，所以不一定成立，

所以“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.

5．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式化简再求解即可.

【详解】.

故选：A.

6．若命题“”是假命题，则实数a的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据命题的否定为真命题可求.

【详解】若命题“”是假命题，

则命题“”是真命题，

当时，，所以.

故选：A.

7．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得平移后的函数为，再根据余弦函数的对称性列式求解即可

【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，因为图象关于y轴对称，所以，，则，

故选：A.

8．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.

【详解】化简可得，又

所以.

故选：B.

9．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据集合并集运算的定义进行求解即可.

【详解】已知，，

所以或.

故.

故选：D

10．若函数是指数函数，则等于（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】由题意可得，解得.

故选：C.

11．若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数以及基本不等式求出的取值范围即可．

【详解】由题意得：对恒成立，

即恒成立，

令，当且仅当即时，有最小值，

故，

故选：．

12．已知集合，，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据可求得，再求即可.

【详解】因为集合，，

且，则有，

或，

则.

故选：B.

二、填空题

13．          .

【答案】4

【分析】通分后，分母应用诱导公式、二倍角公式，分子逆用两角差的正弦公式化简后可得．

【详解】.

故答案为：4．

14．若奇函数共有n个零点，则所有零点之和为      .

【答案】

【分析】由函数的图象关于中心对称，得到函数的n个零点转化为根据函数的图象变换，得到关于中心对称，进而求得函数的n个零点之和.

【详解】因为函数为奇函数，所以的图象关于中心对称，

设函数的n个零点分别为，，，…，所以，

又由的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，

所以关于中心对称，

设的n个零点分别为，，，…，

则

.

故答案为：.

15．已知，则          .

【答案】/

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以

故答案为：

16．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的最大值为2，则的值可以为           .

【答案】

【分析】写出函数的解析式，化简函数，再探求其最大值即可计算作答.

【详解】依题意，

，其中为辅助角，

因函数的最大值为2，则，即，

解得，即，

所以的值可以为.

故答案为：

三、解答题

17．已知ABCD是边长为1的正方形，点是正方形内一点，且点到边AD的距离为，点到边AB的距离为.

(1)用x，y表示；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过分别作于，于，于，于，然后根据题意利用勾股定理可求得结果；

（2）由基本不等式得，然后利用此结论，结合（1）的结果可求得答案.

【详解】（1）过分别作于，于，于，于，则

，

所以.

（2）根据基本不等式，得，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.

18．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

(1)某次地震释放出的能量为焦耳，则这次地震的震级是多少？

(2)2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？（，）

【答案】(1)6级

(2)31.6倍

【分析】(1)将能量值的值，代入关系式求震级即可；

(2) 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为，将震级代入关系式，化简求即可.

【详解】（1）将能量代入得

整理得，又，即

所以，解得，故此次地震震级为6级.

（2）设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为，由可得，

作差得

故，故里氏9.0级地震释放的能量是里氏8.0级地震释放的能量的31.6倍.

19．如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为．

（1）找出与的函数关系；

（2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）（2）当且仅当，即时，最大，且最大值为2.

【分析】（1）四边形的面积可以看成是和的面积之和．因为，则，根据三角形的面积公式即可得出；

（2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：，根据，得时，最大，且最大值为．

【详解】（1）

（2）由（1）知

，

因为，所以

故当且仅当，即时，最大，且最大值为2．

【解析】三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质.

20．已知都是锐角，求，的值

【答案】，

【分析】先利用题给条件求得、的值，进而利用两角和公式可求得和的值，从而再利用两角和公式求得的值

【详解】由是锐角，，可得，

由是锐角，，

可得，

则

21．计算下列各式：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答.

（2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答.

【详解】（1）原式；

（2）原式

．

22．等式是否成立?如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期?为什么?

【答案】见解析

【解析】成立，再利用函数的周期的定义说明不能说是正弦函数,的一个周期.

【详解】等式成立,但不能说是正弦函数,的一个周期.

因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x,不一定等于,如,所以不是正弦函数,的一个周期.

【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.