2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高一下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．复数z满足，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法与模的计算求解即可.

【详解】由题意，，故，则z的虚部为.

故选：D

2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】，故.

又，故.

，

，

故选：A

3．若向量，满足，，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先由求出，然后利用数量积的求角公式求解即可.

【详解】∵，,

∴，即，

设向量与夹角为，

∵，

∴ ，

又∵，

∴．

故选：B．

4．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当时，表示的复数所对应的点在复平面中位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据的范围判断三角函数符号，由已知和复数的几何意义可得.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以对应点位于复平面的第三象限.

故选：C

5．函数在的图象大致为（    ）

A．     B．   C．     D．    

【答案】D

【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解.

【详解】， ，定义域关于原点对称，

，

是奇函数，排除A；

当时，，排除C；

当时，中，故，排除B.

故选：D

6．平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算可得，，组成方程组即可求解．

【详解】点为线段的中点，

，

即①，

，

，

即②，

由①②得，，

故选：A．

7．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ）

A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.

【详解】因为，所以，整理得，

又，所以，

即，即，

又，所以，得，

因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.

故选：D

8．在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，得到，结合，化简得到，即可求解.

【详解】由，可得，

因为，可得，

所以，

又因为，所以.

故选：A.

二、多选题

9．下列命题正确的有（    ）

A．若复数在复平面上对应的点在虚轴上，则

B．复数z的共轭复数为，则的一个充要条件是

C．若，（）是纯虚数，则实数

D．关于x的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数

【答案】ABD

【分析】根据复数的几何意义，可判定A正确；根据复数的概念，以及充分、必要条件的判定方法，可判定B正确；根据复数分类，列出方程组，可判定C不正确；根据方程，得到，可判定D正确.

【详解】对于A中，若复数在复平面上对应的点为，

要使得在复平面的虚轴上，则满足，所以A正确；

对于B中，复数z的共轭复数为，若，则，即充分性成立；

设，则，若，可得，即，

此时，即必要性成立，所以B正确；

对于C中，若是纯虚数，则满足，

解得，所以C不正确；

对于D中，由方程，可得，

所以方程在复数范围内的两个根互为共轭复数，所以D正确.

故选：ABD.

10．对函数，下列判断正确的是（    ）

A． B．函数只有一个零点

C．函数的值域为 D．函数的单调增区间是

【答案】ABC

【分析】对A，直接计算即可；对B，求的根个数即可；对C，化简根据基本不等式求解值域即可；对D，举反例判断即可.

【详解】对A，，故A正确；

对B，令可得，解得，故B正确；

对C，当时，，当时，当且仅当，即时取等号，此时

又由A可得为奇函数，故当时.

综上有函数的值域为，故C正确；

对D，，，，故D错误.

故选：ABC

11．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可求解.

【详解】函数

．

由于函数值域为,，则，

所以，，

故，，

所以，故的最大值为，

当最小时，，，，

此时的最小值为，

故．

故选：ABC．

12．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，，则（    ）

A． B． C．若，则 D．

【答案】AB

【分析】根据面积公式以及正弦定理边角化可判断A，根据余弦的和差角公式即可判断B，根据正弦定理可判断C，根据弦切互化可判断D.

【详解】由题意可得：，可得，

由正弦定理可得：，

，，可得；故A正确，

又，所以,

由于,所以,则，故B正确，

对于C，若，则,故C错误，

对于D，,故D错误，

故选：AB

三、填空题

13．已知向量，，若，则      ．

【答案】

【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解之即可.

【详解】因为，则，即，

整理可得，

又因为向量，，则，解得.

故答案为：.

14．已知，，则的值是      ．

【答案】

【分析】根据和差角公式即可求解.

【详解】由可得，由于，

所以，故，

故

，

故答案为：

15．已知复数z满足：（i为虚数单位），写出一个满足条件的z为      ．

【答案】（或）

【分析】设，再代入求解，根据复数相等条件分析即可.

【详解】设，则，即，故，即，，，解得或，故或.

故或.

故答案为：（或）

16．在中，已知，P为线段AD上的一点，且满足．若的面积为，，则线段CP长度的最小值为      ．

【答案】

【分析】利用A，P，D三点共线可求出，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．

【详解】∵，且，

所以，

∵A，P，D三点共线，∴，即．

∴

，

又∵，且．

∴，即．∴.

∴

．

故答案为：．

四、解答题

17．平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．

(1)求点对应的复数：

(2)在中，求边上的高．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）写出顶点、、的坐标，利用平面向量加法的平行四边形法则求出点的坐标，即可得出点所对应的复数；

（2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出，进而可得出.

【详解】（1）解：因为平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、，

由复数的几何意义可得、、，

由平面向量加法的平行四边形法则可得，

故点对应的复数为.

（2）解：因为，，所以，，

所以，，

因此，的边上的高为.

18．如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．

(1)在θ仿射坐标系中，若，，，求t．

(2)在的仿射坐标系中，，求在上的投影向量仿射坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题可得，利用向量共线的条件即得；

（2）由题可知，进而可得，然后利用投影向量为的摡念即得；

【详解】（1），

，

，即；

（2），

，

，

，

，

在上的投影向量为，

即在上的投影向量斜坐标为；

19．已知函数．

(1)求函数的对称中心；

(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．

【答案】(1)

(2)答案见详解

【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简解析式，根据正弦函数的性质即可求解；

（2）利用图像变换求出解析式，作出的图象，结合图象可得﹒

【详解】（1）

，

由得，

所以的对称中心为

（2）将的图像向右平移个单位长度，

得的图像，

再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，

作函数在区间的图像如图：

由图可知，当或时，在区间内一个零点；

当时，在区间内两个零点；

当或时，在区间内没有零点.

20．在四边形ABCD中，，．

(1)求的长：

(2)若，求四边形的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意求得，利用余弦定理，即可求解；

（2）根据题意求得，利用正弦定理求得，求得，在由，得到，求得，结合，即可求解.

【详解】（1）解：因为且，可得，

在中，，

所以.

（2）解：因为，可得，

又因为且，

可得

由正弦定理，可得，

所以，

由，可得，

又因为，

所以四边形的面积为.

21．我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数

(1)设函数

（ⅰ）求函数图象的对称中心，并求的值；

（ⅱ）若函数与函数图象有两个交点A，B，若点C坐标为，求的值．

(2)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．

【答案】(1)，，

(2)见详解

【分析】（1）（ⅰ）判断的奇偶性即可根据题设的对称中心，然后利用对称性可得所求值；（ⅱ）根据对称性和向量加法可解；

（2）根据图象平移变化即可得其推广结论.

【详解】（1）（ⅰ）因为

，

记，

因为，

所以为奇函数，即为奇函数，

由题知，的图象关于点对称.

由上可知，，

则，

同理可得，，，

所以.

（ⅱ）因为为奇函数，

所以的图象关于点对称,

故交点A，B的中点为,

所以，

因为，所以.

（2）其推广结论为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.

若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将函数图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，即为偶函数；反之亦然.

22．如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（λ，μ均为实数）．

(1)若时，当点C恰好运动到劣弧的中点时，求的值.

(2)若时，求的取值范围;

(3)若，记向量和向量的夹角为θ，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；

（2）根据题意，以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；

（3）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.

【详解】（1）若，且点C恰好运动到劣弧的中点，

则此时互相垂直且平分，则四边形为菱形，即

故.

（2）

记劣弧的中点为，且，

①

②

①+②得

进一步得：

，

其中，所以

故的取值范围为：

（3）记，由两边平方，得

，又，∴

∴，

故，

又和向量的夹角为，

记，

显然关于单调递增，

所以当时，.