2022-2023学年江西省赣州市大余县九师联盟联考高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年江西省赣州市大余县九师联盟联考高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．

【详解】由题意，对应点为，在第一象限．

故选：A

2．已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得在第四象限，根据各象限三角函数值的正负情况判断即可.

【详解】因为角终边经过点，所以在第四象限，

所以，，，，故C正确．

故选：C．

3．在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】由余弦定理求出答案.

【详解】由余弦定理得：，故.

故选：A

4．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据因为向量与向量共线，由求解.

【详解】解：因为向量与向量共线，

所以，即，

因为，是两个不共线的向量，

所以，解得 ，

故选：C

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C

6．从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（    ）

A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于

【答案】D

【分析】首先列出所有能够围成三角形的三边组合，再分类讨论利用余弦定理计算即可．

【详解】从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根有，，，，，，，，，共10种取法，

其中能够围成三角形的有，，三种，

若三边为2，3，4，设最大角为，

则，故；

若三边为2，4，5，设最大角为，

则，此时；

若三边为3，4，5，故最大角为直角，

综上所述，D选项正确.

故选：D.

7．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若与的夹角为钝角，则

D．若，则在上的投影向量为

【答案】D

【分析】由向量的坐标运算可判断A；由向量共线的坐标运算可判断B；由向量夹角的坐标运算可判断C；计算出 ， ，再计算在上的投影向量可判断D．

【详解】平面向量，，

对于A，当时，，因此，A错误；

对于B，，则有，解得，B错误；

对于C，与的夹角为钝角，则且与不共线，当时，，解得，由B选项知，当时，与不共线，因此且，C错误；

对于D，当时，，而，因此在上的投影向量为，D正确．

故选：D．

8．已知函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】用辅助角公式化简函数解析式，再由函数的图像关于轴对称求出的值，最后判断的最小值.

【详解】，

则，

的图像关于轴对称，

，，则，，

当时，取得最小值.

故选：C．

二、多选题

9．下列四个式子中，计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用诱导公式判断A、B，利用差角公式判断C、D.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确；

故选：BCD

10．下列关于复数的说法正确的是（   ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若互为共轭复数，则是实数

D．若互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

【答案】AC

【分析】AB选项，根据复数的概念和分类作出判断；CD选项，利用共轭复数的概念，乘法法则和几何意义判断出CD.

【详解】对于A：当复数是实数时，，若，则为实数，

故是实数的充要条件是，显然成立，故A正确；

对于B：若复数是纯虚数，则且，故B错误；

对于C：若互为共轭复数，设，则，所以是实数，故C正确；

对于D：若互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于x轴对称，故D错误.

故选：AC.

11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

该图象关于原点对称，所以，

即，所以的值可以是，．

故选：AD．

12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．a>c C．c>a D．

【答案】ACD

【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.

【详解】由正弦边角关系知：，则，

所以，而，则，A正确；

由上知：，即，B错误，C正确；

由知：，则，

又，故，则，即，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．设复数z满足，则           ．

【答案】

【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可得解.

【详解】由，得，则．

故答案为：.

14．已知函数在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为        ．

【答案】

【分析】根据的范围以及函数函数在区间上的最大值列不等式来求得的取值范围.

【详解】依题意，，

当时，，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

15．正五角星是一个有趣的图形，如图，顺次连接正五角星各顶点，可得到一个正五边形，正五角星各边又围成一个小的正五边形，则大五边形与小五边形的边长之比为           ．（参考数据）

【答案】

【分析】画出图形，根据题意得到，，再结合二倍角公式求解即可.

【详解】如图

  ，

为等腰三角形，，

为等腰三角形，，，

所以．

故答案为：

16．已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则        ．

【答案】

【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算律计算可得.

【详解】因为

，

，

因为对，恒有，

所以对恒成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

所以，

即，所以，

又，

所以

.

故答案为：

四、解答题

17．已知虚数z满足.

(1)求证：在复平面内对应的点在直线上；

(2)若是方程的一个根，求与.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；

（2）将复数代入方程求参数即可.

【详解】（1）设，由，则，

所以，

所以在复平面内对应的点为，在直线上.

（2）同（1）设复数，因为z是方程的一个根，

所以，即，

所以且，得，

因为，所以，

把代入得：，

所以，.

18．已知，，且.

(1)求与的夹角；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的运算律得到，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解；

（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值.

【详解】（1）因为，

所以.

设与的夹角为，

则，又，所以，

故与的夹角为.

（2）因为，所以，

即，即，

所以，即，解得.

19．（1）已知，化简：；

（2）已知，，，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.

（2）利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答.

【详解】（1）因为，则，，，

所以

．

（2）因为，，即有，而，

因此，，，

于是，又，

则，

而，，即有，

所以．

20．已知的内角的对边分别为，向量，且.

(1)求角A；

(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.

【答案】(1)

(2)等边三角形，

【分析】（1）由，可得，后由正弦定理结合

即可得答案；

（2）由（1），的周长为，且外接圆的半径为1，可得，

后由余弦定理可得，解出b,c即可得答案.

【详解】（1）因为，所以，

即.

由正弦定理得，

因为，所以.

因为，所以，所以.

因为，所以.

（2）设外接圆的半径为，则.

由正弦定理，得.

因为的周长为，所以.

由余弦定理，得，

即，所以.

则.

所以为等边三角形，的面积.

21．如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，利用余弦定理求出关于的函数，根据二次函数知识可求出的最小值；

（2）由正弦定理可求出结果.

【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，

在中，，故

由余弦定理求得，

则，

整理得，

当时，即时，，故.

即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员.

（2）当小艇以每小时的速度从处出发，

经过时间小时追上运动员，

故，

又，由正弦定理得，解得，

故.

即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为.

22．已知函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若关于x的方程在内有两个不相等的实数根，求证：．

【答案】(1)

(2)证明过程见详解

【分析】（1）令，利用二倍角的余弦公式将函数式化简，然后换元即可求解；

（2）结合（1）结论和题意可得且，，利用两角和与差的余弦公式，以及余弦函数的单调性即可证明.

【详解】（1）令，

因为，

则，

所以函数的解析式为.

（2）结合(1)可知：则，由题意可知：方程在内有两个不相等的实数根，所以，

则，即，

因为，且，所以，

则

，

因为，所以，则且，

所以，

因为，所以，则，

则，所以

则，故，所以.