2022-2023学年黑龙江省龙西北八校联合体高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省龙西北八校联合体高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（    ）

A． B． C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】C

【分析】根据复数的概念和运算逐一判断即可．

【详解】，故A错误；

，故B错误；

的共轭复数为，故C正确；

的虚部为，故D错误．

故选：C．

2．某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（    ）

A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶

C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶

【答案】C

【分析】结合互斥事件，对立事件的概念逐一判断选项.

【详解】解：至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误.

故选：C

3．如图在中，是的中点，是的三等分点（靠近点），若（），则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把，代入即可解决此题．

【详解】，

且，则．

故选：D．

4．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据给定条件，举例说明判断选项A，B，D；利用线面平行、垂直的性质推理判断C作答.

【详解】对于A，因，当时，满足，显然不成立，A不正确；

对于B，如图，长方体中，平面为平面，平面为平面，直线为直线m，

显然有，，而，B不正确；

对于C，因，则存在经过直线m的平面，使得，则，而，有，因此，C正确；

对于D，因，则在平面内存在直线，满足，即不成立，D不正确.

故选：C

5．下列判断正确的是（    ）

A． B．不等式成立的必要不充分条件是

C．是定义域上的减函数 D．函数过定点

【答案】D

【分析】利用元素与集合的关系可判断A；解不等式，利用集合的包含关系可判断B；根据反比例函数的单调性可判断C；由指数函数的性质可判断D.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，解不等式可得或，

∵或，

∴不等式成立的充分不必要条件是，B错误；

对于C，函数在定义域上不单调，C错误；

对于D，令，可得，此时，

所以，函数过定点，D正确.

故选：D.

6．的三个内角，，所对边的长分别为，，，设向量，.若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】因为，所以，再根据余弦定理化简即得解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以

，所以.

故选：C

7．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积和球的体积之比及圆柱的表面积和球的表面积之比分别是（    ）

A．、 B．、 C．、1 D．、

【答案】B

【分析】设球的半径为，则可求出圆柱和球的体积和表面积，即可得出答案.

【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

圆柱的体积，球的体积，

所以，

圆柱的表面积，球的表面积，

所以，

故选：B．

8．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】由余弦定理可得，则，

由正弦定理可得

，

因为为锐角三角形，则，，所以，，

又因为函数在内单调递增，所以，，可得，

由于为锐角三角形，则，即，解得，

，

因为，则，

因为存在最大值，则，解得.

故选：D.

二、多选题

9．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD，折成互相垂直的两个平面后得到三棱锥A-BCD，则下列说法正确的是（　　）

A．AB⊥CD

B．∠ABC=

C．三棱锥D-ABC是正三棱锥

D．AC所在的直线与平面BCD所成的角为

【答案】ABC

【分析】由面面垂直的性质可证得面，继而有DA，DB，DC两两垂直，且DA=DB=DC，由此可判断A、B、C选项；根据线面角的定义可得AC所在直线与平面BCD所成角为∠ACD，由此可判断D选项.

【详解】解：因为面面，面面，，所以面，所以，故A正确；

由A选项解析得，所以DA，DB，DC两两垂直，且DA=DB=DC，所以三角形ABC为正三角形，故B、C项正确，

又知AD⊥平面BCD，所以AC所在直线与平面BCD所成角为∠ACD=.故D不正确，

故选：ABC.

10．已知，，下列结论正确的是（       ）

A．与同向共线的单位向量是

B．与的夹角余弦值为

C．向量在向量上的投影向量为

D．

【答案】ACD

【分析】根据单位向量的求法判断A，由向量夹角公式判断B，根据向量投影的求法判断C，利用数量积判断D.

【详解】，故A正确；

，故B错误；

向量在向量上的投影向量为，故C正确；

由，故D正确.

故选：ACD

11．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ）

A．男生样本量为30 B．每个女生入样的概率均为

C．所有样本的均值为165cm D．所有样本的方差为

【答案】AD

【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算总体的均值可判断C；计算总体的方差可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确；

对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确；

对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C不正确；

对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，

总体的平均数为，方差为，

因为

，

而，

所以，

同理可得，

所以，

故选项D正确；

故选：AD

12．已知四棱台上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（    ）

A．该四棱台的高为 B．该四棱台外接球的表面积为

C．与所在直线的夹角为 D．该四棱棱台的表面积为26

【答案】ABC

【分析】将四棱台的侧棱延长，相交于点，形成四棱锥，根据四棱台的几何性质，结合棱台的表面积公式、球的表面积公式逐一判断即可.

【详解】将四棱台的侧棱延长，相交于点，形成四棱锥，

设正方形和的中心分别为，

由于，，则分别为中点，

则，，则，

则，该四棱台的高为，故A正确；

由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，

在平面上中，由于，，

则，即点到点与点的距离相等，则外接球半径，

该四棱台外接球的表面积为，故B正确；

因为，则与所在直线的夹角为，故C正确；

该四棱台的表面积为，故D错误.

故选：ABC．

三、填空题

13．已知为虚数单位，复数满足，则复数      ．

【答案】

【分析】根据复数的运算性质即可求解.

【详解】由题意，复数满足，

可得.

故答案为：.

14．在直三棱柱中，，，则点A到平面的距离为      ．

【答案】/

【分析】求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用等体积法，容易求得．

【详解】  

∵，，

∴中，，

∴，，

设点A到平面的距离为h，

则三棱锥的体积为，

即，∴，

∴，即点A到平面的距离为.

故答案为：.

15．现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格相互独立，按上述方式检测3台设备，则恰有2台合格的概率      ．

【答案】

【分析】先根据题意求出每台设备报废的概率，再由对立事件的概率公式可求出每台设备合格的概率，然后由独立事件的概率公式可求得结果.

【详解】由题意可知设备连续两次检测不合格即可报废，则每台设备报废的概率为，

所以每台设备合格的概率为，

所以检测3台设备，则恰有2台合格的概率为

故答案为：

16．已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为      ．

【答案】13

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出的坐标，再利用基本不等式计算的最大值.

【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则，，

因为，所以点的坐标为，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，所以的最大值为13．

故答案为：13.

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查向量的坐标运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标求解，考查数形结合的思想，属于较难题.

四、解答题

17．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢.

(1)写出该实验的样本空间；

(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)不公平，理由见解析

【分析】（1）考虑摸出球的编号情况，根据题意直接写出甲乙两人摸球实验的样本空间；

（2）根据（1）的结果，计算两人赢的概率，可得答案.

【详解】（1）由题意可得样本空间为

.

（2）这种游戏规则是不公平的，理由如下：

设甲赢为事件，乙赢为事件，则，为对立事件，

由题意事件包含的基本事件有

，，，，，，共6个.

由古典概型的概率计算公式可得，

所以，

所以，即这种游戏规则不公平

18．已知是关于的实系数方程的一个复数根.

（1）求实数的值；

（2）设方程的另一根为，复数对应的向量分别是.若向量与垂直，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将复数根代入方程，根据复数的特点，列式求值；（2）根据韦达定理求得，根据复数的几何意义可知，再代入向量数量积坐标表示求值.

【详解】（1）由题得，

所以得

（2）由（1）知，关于的实系数方程为，所以，

，则，所以，

则.

因为与垂直，

所以，

解得：.

19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角C；

(2)若，的面积为，求边a，b的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦公式化简可得，结合的范围即可得解；

（2）由三角形面积公式可求，利用余弦定理即可得，联立即可求出答案．

【详解】（1）由，

结合正弦定理得：，

即，故，

因为，所以，可得 ，所以 ．

（2）由的面积 ，

又 ，所以①.

由及余弦定理得，

故，从而，所以②，

由①②联立解得或．

20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：PA∥平面BDE；

(2)平面PAC⊥平面BDE；

(3)若二面角E﹣BD﹣C为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)．

【分析】（1）连接可证从而得到要证明的线面平行；

（2）再通过证明平面得到要证明的面面垂直．

（3）设的中点为，可证平面且是二面角的平面角，从而，故可得到平面的距离，它的两倍是到底面的距离，最后根据公式计算四棱锥的体积．

【详解】（1）证明:

连接，如图所示．∵分别为中点，∴．

∵面，面，∴面．

（2）∵面，面， ∴．

在正方形中，，又∵，∴面．

又∵面，∴面面．

（3）取中点，连接．∵为中点，∴为的中位线，∴．

又∵面，∴面，

由（1）可知面，而面，所以，∵，

∴为二面角的平面角，

∴．

在中，，

∴，∴．

∴．

21．某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入.已知瓷砖的质量以某质量指标值t(单位：分，t∈[0，100])为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100块瓷砖，进行了统计，其统计结果如表所示：

试利用样本分布估计总体分布的思想解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值).

（1）在一天内抽检瓷砖，若出现了瓷砖的质量指标值t在区间内，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，其中近似为样本平均数，s近似为样本的标准差，并已求得s≈14.若某天抽检到的瓷砖有1块的t值为20分，则从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（2）已知每块瓷砖的质量指标值t与等级及纯利润y(单位：元)的关系如表所示：

假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元(含引进生产线､兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？试说明理由.

【答案】（1）应对当天的生产过程进行检查；（2）该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资，理由见解析.

【分析】（1）由平均数计算公式求得，从而可得﹣3s，判断20是否在区间[0，﹣3s)内，即可得出结论；

（2）列表可得瓷砖的质量指标值t与对应频率，由平均数公式可求得样本中每块瓷砖的平均利润，利用样本平均数估计总体平均数，计算可得该瓷砖厂的年盈利，与总投资3000作比较，即可得出结论.

【详解】解：（1）根据表中数据，

可得=×(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)=65.5，

又s≈14，

所以﹣3s≈65.5﹣3×14=23.5，

而20<23.5，即抽检到的这块瓷砖的t值在区间[0，﹣3s)内，

故应对当天的生产过程进行检查.

（2）由题意可知，瓷砖的质量指标值t与对应频率如下表所示：

故样本中每块瓷砖的平均利润为=﹣10×0.02+1×0.34+3×0.49+5×0.11+10×0.04=2.56(元)，

利用样本平均数估计总体平均数，可得该瓷砖厂的年盈利大约为2.56×1000=2560(万元)，

而2560万元<3000万元，

故该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资.

【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．

22．已知函数

（1）判断函数的单调性，并说明理由

（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】(1)根据题意，直接把函数代入，然后根据定义法判断该函数的单调性即可.

(2)根据题意，对函数的双变量问题一步步转化，对任意的，恒成立等价于恒成立，然后化简得，可令，即求恒成立，最终转化为，然后根据二次函数的性质进行讨论，即可求出a的取值范围.

【详解】（1） 的定义域为.

因为.

且在上单调递增.

在上单调递增，

所以在上单调递增.

（2）因为，所以在上的最大值为.

对任意的，恒成立等价于恒成立，

即.

①当时，即时，

，即，无解；

②当时，即时，

，即，又，所以.

③当时，即时，

，即，

又，此时无解.

综上，a的取值范围为

【点睛】本题对数函数的运算，以及根据函数的双变量求解参数范围的问题，本题难点有两个地方：一、对函数双变量恒等关系转化为不等式求解问题；二、对含参二次函数的分类讨论，本题在讨论的时候应围绕对称轴与x的取值范围之间的关系进行讨论，属于难题.