2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．设复数满足，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则化简可得复数.

【详解】由题意可得.

故选：A.

2．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.

【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，

画对应的轴，轴，使，如下图所示，

结合图形，的面积为，

作，垂足为，

则，，

所以的面积，

即原图和直观图面积之间的关系为，

所以，的面积为.

故选：A.

【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.

3．如图，在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.

【详解】.

故选：D

4．在中，已知，，的外接圆半径为1，则

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】根据正弦定理求出边a，和sinB，进而求的角C，再根据三角形面积公式求解．

【详解】已知 A=，得sinA= ，

∵ b=1，R=1，根据正弦定理，得 ，sinB= ,

∵ ，易知B为锐角，∴B= ,∴C=

根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选C.

【点睛】本题考查了正弦定理，三角形中边角关系，以及三角形面积公式的应用，属于基础题．

5．在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（    ）

A．与是互斥事件，也是对立事件

B．与是互斥事件，也是对立事件

C．与是互斥事件，但不是对立事件

D．与是互斥事件，也是对立事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，

所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；

与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；

与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；

与是互斥事件，且，

所以也是对立事件，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型.

6．已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（    ）．

A．150，15 B．150，20 C．200，15 D．200，20

【答案】A

【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.

【详解】由图得样本容量为，

抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．

故选：A.

7．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．

【详解】由题意侧棱长为．

所以表面积为：．

故选：A.

【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．

8．海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（    ）

A． B．

C． D．12

【答案】C

【分析】用正弦定理将条件转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.

【详解】在中，因为，

由正弦定理可得：，

设，，，且，

∴，解得，

即，，，且，

∴

.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析、运算求解能力，属基础题.

二、多选题

9．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（    ）

A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】ACD

【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．

【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平

对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，

所以游戏不公平

对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平

对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．

故选：ACD．

【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．

10．下列关于复数的说法正确的是（   ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若互为共轭复数，则是实数

D．若互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

【答案】AC

【分析】AB选项，根据复数的概念和分类作出判断；CD选项，利用共轭复数的概念，乘法法则和几何意义判断出CD.

【详解】对于A：当复数是实数时，，若，则为实数，

故是实数的充要条件是，显然成立，故A正确；

对于B：若复数是纯虚数，则且，故B错误；

对于C：若互为共轭复数，设，则，所以是实数，故C正确；

对于D：若互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于x轴对称，故D错误.

故选：AC.

11．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.

【详解】，

由正弦定理可得，

整理可得，

所以，

为三角形内角，，

∴，∵，，故A正确，B错误；

∵，，

，解得，

由余弦定理，得，

解得或（舍去），故C正确， D错误.

故选：AC.

12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（    ）

A．AC⊥B1E

B．B1C∥平面A1BD

C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为

D．异面直线B1C与BD所成的角为45°

【答案】AB

【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果

【详解】解：如图，

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，

又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；

∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；

三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；

∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，

∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.

故选：AB.

【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题

三、填空题

13．组数据2，，4,6,10的平均值是5，则此组数据的方差是       .

【答案】

【详解】试题分析：因,故,所以,应填.

【解析】平均数和方差的计算．

14．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距               n．

【答案】

【分析】利用正弦定理求的长度即可.

【详解】由题设， n且，

正弦定理有，则，可得 n.

故答案为：

15．在平行四边形中，，垂足为P，若，则         ．

【答案】

【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出.

【详解】平行四边形中，，

因为，所以，

根据向量的几何意义可知，

解得：.

故答案为：

16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为           .

【答案】

【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.

【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：

∴.

设底面圆的半径为r,则有,解得,

所以这个圆锥的高为，

则这个圆锥的体积为.

故答案为：.

【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.

四、解答题

17．设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数．

(1)求复数z；

(2)若复数z是关于x的方程（m，的根，求实数m和n的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据复数模的公式，结合复数乘法的运算法则和纯虚数的概念即可得出答案.

（2）复数z是关于x的方程（m，的根，代入方程可得，解方程即可得出答案.

【详解】（1）设，（a，，），则

因为为纯虚数，所以，            

又，所以，

联立方程得，，故.

（2）因为是关于的方程（m，）的根，

所以，即，

所以

解得，．

18．已知向量，，.

（1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件；

（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．

(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．

【详解】（1）已知向量，，，

若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.

，，

故知，

∴实数时，满足条件.

（2）若为直角三角形，且为直角，则，

∴，

解得.

【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．

19．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a；

（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；

（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.

【详解】（1）由，解得；

（2），

故本次防疫知识测试成绩的平均分为；

（3）设受嘉奖的学生分数不低于分，

因为，对应的频率分别为0.15，0.1，

所以，解得，

故受嘉奖的学生分数不低于分．

20．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：

（Ⅰ）两人都投中；

（Ⅱ）恰好有一人投中；

（Ⅲ）至少有一人投中.

【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.

【分析】（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；

（Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；

（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解.

【详解】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，

由于两个人投篮的结果互不影响，

所以与相互独立，与，与，与都相互独立，

由已知可得，，则，；

（Ⅰ）“两人都投中”，则；

（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，

则

；

（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，

所以

.

【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

21．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．

(1)若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；

(2)若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）设AC，BD的交点为O，所以PA∥OF，利用线面平行的判定定理即可证得结论；

（2）由题意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，则BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得结论.

【详解】（1）设AC，BD的交点为O，连OF，

因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，PF＝FC，所以PA∥OF，

又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF．

（2）因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，

又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，

又PC平面PAC， 所以BD⊥PC，

又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，

又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.

22．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)周长的取值范围为

【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化即可.

（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.

【详解】（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.

选条件②：因为，所以

所以，又因为，所以，所以，所以，

选条件③：由正弦定理可得

即，又因为，所以，因为，所以.

（2）

，，

则即，

即周长的取值范围为.