2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一下学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一下学期期末数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}【答案】C【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以故选：C2．已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（    ）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数和余弦函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【详解】由0.51.002＜0.50＝，∴b＜a＜c．故选：D．3．已知，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】求出，根据判断，从而可得答案.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，所以，故选：D.4．函数的图象如图所示，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围【详解】函数的定义域为，由图可知，则，由图可知，所以，由，得，，由图可知，得，所以，综上，，，，故选：D5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上递增，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（    ）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣2，1）∪（2，+∞）C．（﹣2，1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【答案】B【分析】由奇偶性得出函数在上的单调性，然后分类讨论求解不等式可得．【详解】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，+∞)上递增，f(2)＝0，∴函数f(x)在(﹣∞，0)上为减函数，且f(﹣2)＝f(2)＝0，则不等式(x﹣1)f(x)＞0等价为或，解得或，即不等式的解集为(﹣2，1)∪(2，+∞)．故选：B．6．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，即，解得.故选：C.7．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为﹣5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为﹣1.45，老人星的目视星等为﹣0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为（    ）（100.54≈0.288，101.54≈34.67）A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467【答案】B【分析】利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，即可解出．【详解】设地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，由题意可得，所以，所以，，故选：B．8．设函数，则不等式的解集是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数单调性结合特值去排除错误选项即可简单快捷地解决此题.【详解】则函数为上的奇函数.又当时，单调递增，且当时，单调递增，且则为上单调递增函数，又函数为上的奇函数，则为上单调递增函数，且当时当时，不等式可化为，不成立.则选项BC错误；当时，不等式可化为，，即，但是，则此不等式不成立，故不是不等式的解.则选项D错误：只能选A.故选：A 二、多选题9．已知a＞b＞c＞0，下列结论中一定正确的是（   ）A．ab＞bc B．C．tana＞tanb D．【答案】AD【分析】直接利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，利用特例判断C，构造函数判断D.【详解】对于A：由于a＞b＞c＞0，所以ab＞bc，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：当时，，故C错误；对于D：设，由于函数在（0，＋∞）上单调递增，故当a＞b＞c＞0，不等式成立，故D正确.故选：AD.10．下面选项中正确的有（    ）A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件【答案】AD【分析】选项A，求出原命题的否命题后再进行判断；选项B，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项C，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项D，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.【详解】对于A：命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故A正确；对于B：命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”，故B错误；对于C：当α=β=时，tanα，tanβ均无意义，“tanα=tanβ”不成立，反过来，当“tanα=tanβ”成立，那么“α+β=kπ，k∈Z”，即为“α=kπ+β，k∈Z”.故“α=kπ+β，k∈Z”不是“tanα=tanβ”成立的充要条件；故C错误；对于D：设a，b∈R，则“a≠0，b=0”时，则“ab=0”，反过来，a，b∈R，若“ab≠0”时，则能推出“a≠0”且“b≠0”，故设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选：AD．11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，， 则（    ）A． B．不等式的解集是C．函数是周期函数 D．当关于的方程恰有两个不同的解时，【答案】BC【分析】由取，结合奇函数性质可求，判断A，根据周期函数定义结合条件求函数的周期，结合奇偶性周期性性质判断B，C，作出函数与函数的部分图象，结合图象判断D.【详解】对于A，由取可得，又函数是定义域为的奇函数，所以，因为当时，，所以，所以，A错；对于C，由已知可得，故函数为周期函数，C对；对于B，由奇函数的性质可得，则，，当时，，当时，，则，当时，，则，当时，，则.故当时，不等式的解为，又因为函数的周期为，故不等式的解集是，C对；对于D，作出函数与函数的部分图象如图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D错.故选：BC.12．下列结论正确的是（    ）A．若，都是第一象限角，且，则B．函数的最小正周期是C．函数的最小值为D．已知函数的图象与轴有四个交点，且为偶函数，则方程的所有实根之和为4【答案】BCD【分析】直接利用：三角函数的值，三角函数的性质，函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用判断、、、的结论．【详解】解：对于：若，都是锐角，且，则，故错误；对于：函数的最小正周期是，故正确；对于：函数，当时，函数的最小值为，故正确；对于：函数的图象与轴有四个交点，且为偶函数，即关于对称，所以方程的所有实根之和为4，故正确；故选：． 三、填空题13．计算：      ．【答案】【分析】根据指数幂和对数运算公式，化简求值.【详解】原式.故答案为：14．已知实数x，y>0，且，则的最小值是        ．【答案】/【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】∵x，y>0，且，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值是，故答案为：15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过     小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155【答案】5【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，两边取对数得， ， ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故答案为：5 四、双空题16．分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形ABC与地面的唯一接触点恰好是弧的中点D，已知正三角形ABC的边长为2cm，动点P从A处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点P在t（单位：秒）时距离地面的高度为y（单位：cm），则当t＝3秒时，y＝              cm；当0≤t≤2时，y＝              ．（用t表示）【答案】          【分析】当t＝3时，P走到了的中点，计算可得，当0≤t≤2时，P在上移动，可求得，从而可求得．【详解】，当t＝3时，P走过的路程为，由于，故此时P走到了的中点，则y＝PAsin∠PAC+OD，又，所以，当0≤t≤2时，P在上移动，其路程为，由l＝αr，可得，所以P到AC边的距离为，故．故答案为：；． 五、解答题17．已知函数的定义域是.（1）当时，求函数的值域；（2）设，，都有，若是的充分不必要条件，写一个满足题意的集合并说明理由.【答案】（1）；（2）(答案不唯一)，理由见解析.【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；（2）求出，都有的充要条件，然后可得答案.【详解】当时，，所以，所以值域是.（2）据题意使“，都有”为真命题的充要条件是，即有，其解集是，故使是的充分不必要条件的集合可以是.18．已知函数．(1)求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间；(2)若，，求角的大小．【答案】(1)对称中心为；单调递减区间为(2) 【分析】（1）令可求出对称中心，令可求出递减区间；（2）根据题意可得，结合范围直接运算求解.【详解】（1）令，解得，所以函数图像的对称中心为；令，解得，所以函数的单调递减区间为.（2）因为，且，则，所以，解得.19．已知函数（m∈R）．(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；(2)对任意，都有，求m的取值范围．【答案】(1)m＝4，；(2). 【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.【详解】（1）,设，在上，则，若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，所以，得：m＝4，由得：，由，知：两个解关于对称，即，综上，；（2）由（1），当时，，要使恒成立，即，得，当t＝0时，不等式恒成立，当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，综上，实数m的取值范围是．20．已知函数，其中实数a＞0且a≠1.(1)若关于x的函数在上存在零点，求a的取值范围；(2)求所有的正整数m的值，使得存在a∈（0，1），对任意x∈[m，7]，均有不等式成立.【答案】(1)(2)6 【分析】（1）求出g（x）的解析式，令g（x）＝0，则ax2＋x＝1，得到，利用换元法求解函数的值域，得到a的取值范围；（2）不等式转化为：1﹣a＞x|ax﹣1|，即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，推出恒成立，利用函数的最值转化求解m的范围，然后可得答案.【详解】（1），令g（x）＝0，则ax2＋x＝1，由题意，，使得ax2＋x＝1，所以，令，所以a＝t2﹣t，在上单调递增，所以.所以a的取值范围为（2）当a∈（0，1）时，在（0，＋∞）上单调递增，而∈（0，1），x∈[m，7]，， 所以，所以，即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，x＝7时，a﹣1＜49a﹣7＜1﹣a，所以，所以函数y＝ax2﹣x的对称轴方程为，所以时，恒成立，当m≤3时，，则﹣1＞4a2﹣4a，所以（2a﹣1）2＜0，不可能，舍去；当4≤m≤6时，，所以a（1﹣m2）＜1﹣m，即a（1＋m）＞1，即a＞，而，所以，又所有m的正整数的取值为6.21．已知函数．求：(1)为偶函数的充要条件，并说明理由；(2)的最大值．【答案】(1)为偶函数的充要条件为；理由见解析(2) 【分析】（1）由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解；（2）根据函数的解析式，分类和两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）解：若为偶函数，则对任意的恒成立，即，所以对任意的恒成立，故；若，则，所以，故为偶函数，所以为偶函数的充要条件为.（2）解：因为，当时．，若，则在上为减函数，所以，者，则在上为增函数，在上为减函数，所以，当时，，若，则在上为增函数，所以，若，则在上为增函数，在上为减函数，所以，由上可知，当时，，因为，所以，当时，，因为，所以当时，，当时，，当时，．因为，所以，所以．22．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；①；②；③.(2)求证：，.【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数的最小值为；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令，利用二次函数的基本性质可求得函数的最小值；（2），将所证不等式等价转化为，分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：选①，；选②，；选③，.，令，因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，故，则，所以，所以，当且仅当时取“”，所以的最小值为.（2）证明：，，当时，，，所以，所以，所以成立；当时，则，且正弦函数在上为增函数，，所以，，所以成立，综上，，.