2022-2023学年河南省安阳市滑县高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省安阳市滑县高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求出，由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解.

【详解】由题意，，

所以复数z的共轭复数，

复数z的共轭复数在复平面上对应的点为，位于第四象限．

故选:D.

2．某学校有教师200人，男学生1600人，女学生1200人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了60人，则n的值为（    ）

A．150 B．160 C．180 D．200

【答案】A

【分析】利用分层抽样等比例的性质列式即可得解.

【详解】依题意，得，解得，

故n的值为.

故选：A.

3．如果复数z满足：，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的模长、复数相等即可求得复数.

【详解】设，则，由复数相等的充要条件，

得解得即．

故选：B.

4．在中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若，则（     ）

A．1 B．－1 C． D．

【答案】A

【分析】利用平面向量的基本定理结合条件即得．

【详解】由题可知为三角形的重心，则，

，，

．

故选：A．

5．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则至少有2只测量过该指标的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先将这5只兔子编号，通过列举样本点的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.

【详解】设5只兔子中测量过该指标的3只为，，，未测量过该指标的2只为，，

则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为，，，

,，，，，，

，共10种可能．

其中至少有2只测量过该指标的情况为，，，

，，，，共7种可能．

所以至少有2只测量过该指标的概率为．

故选：C

6．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（    ）

A．27 B．48 C．54 D．64

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图的性质，对应求得频率与频数，可得答案.

【详解】前两组的频数为，因为后五组的频数和为64，

所以前三组的频数和为36，所以第三组的频数为，

又最大频率为0.34，故第四组的频数为，所以．

故选：C.

7．已知满足，则夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数量积的运算律，整理化简等式，建立方程，解得平方和，结合完全平方和公式，解得模长乘积，利用夹角公式，可得答案.

【详解】由題意，向量，满足，，

可得，所以，

又由，所以，

设向量与的夹角为，则．

故选：D.

8．如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据面面平行的性质得到，得到特殊图形，根据棱台和棱柱的体积公式直接求解即可.

【详解】因为三棱柱，

所以，面面，

又因为面面，面面，

所以，显然为三棱台，

设，（），三棱柱的高为，

则，

所以三棱柱体积为，

三棱台的体积为，

.①三棱台的体积占，

则，得，得或，均不符合题意；

②三棱台的体积占，

则，得，得或，因为，所以.

故选：C

二、多选题

9．设、、为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】根据平行的传递性、面面垂直判定定理、面面平行判定定理，可得答案.

【详解】若，，根据平行的传递性，则，故A正确；

直线，而，即，，所以，，故B正确；

和两条平行直线分别平行的两个平面可以平行也可以相交，故C错误；

两个平面垂直于第三个平面，这两个平面可以平行也可以相交，故D错误．

故选：AB.

10．随着生活节奏的加快，人们越来越注意养生和锻炼身体，其中走路是一种简单的锻炼方式，它不仅可以减肥，还可以增强心肺功能等.甲，乙两人通过某软件记录了各自在同一周内的日步数(单位：千步)，统计如下表所示：

根据上述表格，在这一周内，下列说法正确的是（    ）

A．甲的日步数的中位数大于乙的日步数的中位数

B．甲的日步数的平均数小于乙的日步数的平均数

C．甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差

D．甲的日步数没有乙的日步数稳定

【答案】ACD

【分析】根据样本数据的中位数、平均数、极差、方差等概念逐项进行判断即可.

【详解】甲的日步数的中位数为14.5，乙的日步数的中位数12.6，甲的日步数的中位数大于乙的旦步数的中位数，选项正确；

甲的日步数的平均数为，

乙的日步数的平均数为，

甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数，B选项错误；

甲的日步数的极差为12.6，乙的日步数的极差为7.6，甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差，C选项正确；

甲的日步数两极分化严重，极差大，在平均数附近的数据少，所以甲的日步数的方差比乙的日步数的方差大，因此乙的日步数比甲的日步数稳定，故D选项正确．

故选：ACD.

11．在中，内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，则下到说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则是等腰三角形 D．

【答案】ACD

【分析】对A：根据余弦函数的单调性分析判断；对B：根据正弦定理分析证明；对C：利用正、余弦定理分析判断；对D：根据两角和差公式分析判断.

【详解】若，因为在上单调递减，

且，所以，故A正确；

由正弦定理得，解得，

又因为，且，所以或，故B错误；

因为，根据正弦定理可得，

由余弦定理可得，

则，即，是等腰三角形，故C正确；

因为，

在中，，则，

所以，故D正确．

故选：ACD.

12．如图，正方体的棱长为1，点M是侧面上的一个动点，点P是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积与点M的位置有关

B．若．则点M在侧面上运动路径的长度为

C．若，则的最大值为

D．若，则的最小值为

【答案】BC

【分析】对A：根据正方体的性质结合锥体的体积公式分析判断；对B：根据题意分析可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，进而可得结果；对C、D：根据题意分析可得点的轨迹是线段，进而可得结果.

【详解】对于选项A：如图1，三棱锥的体积，

因为点P为的中点，所以的面积是定值，

又因为点M到面的距离是正方体的棱长，

所以三棱锥的体积是定值，故A错误；

对于选项B：如图2，过点P作，垂足为点Q，连接，

则由正方体的性质得平面，平面，所以，

又因为，正方体的棱长为1，所以，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，

所以点在侧面上运动路径的长度为，故正确；

对于选项C，D：如图3，过点作，垂足点，则点是的中点，连接QC，

取BC的中点，连接，，，则，，

因为，所以，

因为平面，且平面，所以，

，平面，

所以平面，平面，所以，

所以点的轨迹是线段，

在中，，，

可得，所以的最大值为，故C正确；

在中，，

可知为锐角，则，

所以点到的距离为，

所以的最小值为，故D错误．

故选：BC.

【点睛】关键点睛：对B：分析可得，可知点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧；对C、D：分析可得，所以点的轨迹是线段.

三、填空题

13．已知甲、乙两组数据，甲：27，28，39，，49，50；乙：24，27，，43，48，52．若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等，则     

【答案】

【分析】利用百分位数的定义求解．

【详解】因为，，

所以第40百分位数为，第50百分位数为，则，

所以．

故答案为：.

14．已知A(－2,1)，B(1,2)，C(0,－2)，D(－3,1)，则向量在向量上的投影向量为      (用坐标表示)

【答案】

【分析】根据投影向量的概念与平面向量坐标运算求解即可.

【详解】因为，，，

所以，

所以向量在向量上的投影向量为．

故答案为：.

15．某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为      .

【答案】

【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的长.

【详解】在中，，

在中，，，

，

由正弦定理得，

故，

在中，，

故学校天文台的高度为.

故答案为：.

16．在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为      ．

【答案】

【分析】通过题意画出图像，通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.

【详解】如图所示，作中点，连接、，

在上作的中心，

过点作平面的垂线，

在垂线上取一点，使得，

因为三棱锥底面是等边三角形，

是的中心，

所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，

又因，则即为球心，

因为平面平面，，，

平面平面，，

所以平面，

，

，

，，

设球的半径为，

则，

，

即，解得，

故三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】三棱锥外接球表面积的问题，从以下几个角度考虑：

（1）三棱锥的性质的应用；

（2）通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径；

（3）推理能力的应用；

（4）数形结合，化归与转化思想的应用.

四、解答题

17．已知向量，．

(1)若，求实数k的值；

(2)若，求实数t的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.

（2）求出向量、的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算计算可得.

【详解】（1）因为，，所以，

．因为，

所以，解得．

（2），因为，

所以，解得．

18．某学校高一年级共1120人，在一次数学考试中随机抽取了100名学生的成绩，发现分数都在内，统计得到的频率分布直方图如图所示

(1)求图中a的值；

(2)试估计这100名学生得分的平均数中位数(结果按四舍五入取整数)：

(3)现在按分层随机抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次数学考试的总结会，求两组中各有一人被抽取的概率

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用频率分布直方图的频率之和为，得到关于的方程，解之即可得解；

（2）利用频率分布直方图平均数与中位数的解法求解即可；

（3）利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】（1）因为频率分布直方图的频率之和为，

所以，则．

（2）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数为

，

因为，，

所以中位数位于，不妨设为，

则，解得，所以中位数为．

（3）在和两组中的人数分别为，，

故在分组中抽取的人数为，分别记作，

在分组中抽取的人数为，分别记作，

则从这5人中随机抽取2人的所有抽取方法为，，，，，，，，，，共有10种，

其中两组中各有一人被抽取的方法有，，，，，，共6种，

所以两组中各有一人被抽取的概率为．

19．如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.

(1)证明：：

(2)若，，，求二面角的大小

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据菱形的几何性质、中位线定理以及等腰三角形的“三线合一”性质，结合线面垂直判定定理与性质定理，可得答案；

（2）根据二面角的平面角定义，作图，根据图中的几何性质，结合线面垂直定理定理，利用锐角三角函数，可得答案.

【详解】（1）在菱形ABCD中，，，又点E，F分别为AD，CD的中点，

所以，则，易知，所以．

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）由，得，

因为，所以，所以，

于是，所以．    

由（1）知平面，又平面，所以，

所以即为二面角的平面角，

因为，所以二面角的大小为.

20．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；

（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.

【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，

则，，，

即，，

所以，，

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．

（2）有3个家庭回答正确的概率为

，

有2个家庭回答正确的概率为

，

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．

21．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，且．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由题意可得，，则由线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质可证得结论；

（2）由已知条件可得平面BCE，再由面面垂直的判定定理可证得结论；

（3）由题意可得平面平面，则平面，所以，从而可求得结果.

【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，

又平面，平面，

∴平面．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵，平面，

∴平面平面，

又平面，

∴平面．

（2）∵平面，平面，

∴，

在矩形中，，

又∵，平面

∴平面．

又平面，

∴平面平面．

（3）∵平面，平面，

∴平面平面．

又，平面平面，平面，

∴平面，

则为三棱锥的高，且．

∵，

∴，

∴．

22．在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，

(1)求角C：

(2)若，求锐角ABC面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角；

（2）设的外接圆半径为，利用正弦定理将已知等式化简变形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面积，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得结果．

【详解】（1）及正弦定理得，        

∴，

∴，即，∴，

∵，∴，∵，∴．

（2）设外接圆的半径为，由，

得，即，

则，∴．        

的面积．

∵，∴，，∴，

∵，，，∴，∴，∴，

∴，∴，即锐角面积的取值范围是．