2022-2023学年河北省衡水市饶阳中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省衡水市饶阳中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为，所以，

所以在复平面内复数对应的点为，位于第二象限.

故选：B

2．为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（    ）

A．83 B．83.5 C．84 D．70

【答案】B

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】将10个数据从小到大排列得，56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，

，故其第80百分位数是，

故选：B.

3．，两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（    ）

A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7

【答案】B

【分析】根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率.

【详解】由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，

即去乙城市的概率为0.4，去乙城市的概率为0.8，

所以，去同一城市上大学的概率，

所以则，不去同一城市上大学的概率，

故选：B.

4．在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接利用向量的线性运算求出结果

【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，

则．

故选：C.

5．若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角的弧度为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据扇形的周长及面积公式，转化为二次函数求最值，据此利用弧长公式求解.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，

则，所以，

故当时，取最大值，此时，

所以，

故选：B

6．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出、的关系式，即可求得的值.

【详解】因为向量，，且，则，

若，则，这与矛盾，故，

因此，.

故选：D.

7．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，圆锥的底面半径为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，结合圆锥的侧面积和体积公式求得的表达式，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，由题意知母线长为

则，

所以，

当且仅当，即时，取得等号，

故选：C

8．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.

【详解】由于，且，

则，

整理得，

则，

整理得，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

【答案】ABC

【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.

【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，

由于是的中点，所以，C选项正确.

根据正方体的性质可知平面，

由于平面，所以，所以，A选项正确.

由于，所以，B选项正确.

由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.

故选：ABC

10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（    ）

A．最小正周期为

B．的最大值为2

C．在区间上单调递增

D．为偶函数

【答案】BC

【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.

【详解】A选项，设的最小正周期为，

由图象可知，解得，A错误；

B选项，因为，所以，解得，

故，

将代入解析式得，

因为，所以解得，

因为函数经过点，所以，故，

的最大值为2，B正确；

C选项，，

当时，，

因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；

D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.

故选：BC

11．下列说法正确的是（    ）

A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同

B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3

C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组

【答案】AB

【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.

【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A正确；

对于B，数据的众数为3，故B正确；

对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；

对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.

故选：AB

12．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则为等边三角形

B．是成立的充要条件

C．若的面积为，则

D．若点满足，且，则

【答案】ABD

【分析】利用正弦、余弦定理，三角形面积公式及诱导公式，结合各个选项的条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】选项A，因为，，由正弦定理得到，

又由余弦定理，得到，即，

所以，故选项A正确；

选项B，因为，所以，即，

又，，所以，

由正弦定理得，，又由三角形中，大边对大角，得，又以上过程均可逆，故选项B正确；

选项C，因为，整理得，

又由正弦定理可得，即，所以，

故或，得到或，故选项C错误；

选项D，如图，在中，，在中，，

两式相比得，因为，且，

所以，，且，所以，

故，所以选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知点在角的终边上，则      .

【答案】

【分析】首先求，再由齐次式化简求值.

【详解】由题意可知 ，

∴ .

故答案为：.

14．已知向量，，，则向量与的夹角为      ．

【答案】

【分析】由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.

【详解】，则，则，又，则

故答案为：.

15．在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为          

【答案】

【分析】取的中点为,连接，利用中位线性质得，则异面直线夹角转化为求，再利用勾股定理求出相关线段长，最后求出即可得到答案.

【详解】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为

则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,

取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，

则即为所求，因为平面，

所以平面,则，

，则，

因为，所以.

故答案为：.

16．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为        米.

【答案】121

【分析】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶，求出各参数，可得函数解析式，将代入，即可求得答案.

【详解】设座舱A与地面的高度与时间t的关系为∶,

由题意可知,,

 ,即,

又：，即,由于，故，

故，

所以（米），

故答案为：121

四、解答题

17．在中，，，.

(1)求的面积；

(2)求c及的值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；

（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.

【详解】（1）由且，则，

所以.

（2）由，则，

而，则.

18．如图，正三棱柱中，，，点为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过直线与直线平行证直线与面平行.

（2）通过等体积转化进行求解.

【详解】（1）解：连接，与相交于，连接，则是的中点，

又为的中点，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）取的中点，连，则，且，

又面，，且，

∴面，

，

.

19．全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:

(1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；

(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由各组数据频率之和为1可得a,由频率分布直方图计算中位数公式可得答案；

（2）由（1）结合频率分布直方图可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列举法可知总情况数与2人中恰有1人的评分在[70,75)内的情况数,即可得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图,

；

注意到前3个矩形对应频率之和为：,

前4个矩形对应频率之和为：,

则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.

（2）评分在[65,70),[70,75)对应频率为：,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.

则从6人中选取2人的情况为：

,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,

故相应概率为：.

20．已知向量，函数.

(1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；

(2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.

【答案】(1)，此时自变量的取值集合为

(2)

【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，由正弦型函数的最值即可得到结果；

（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）由题知，，

当，即时，最大，且最大值为，即，此时自变量的取值集合为.

（2）由（1）知，，则，

因为在中， ，所以，

所以，所以，

又由余弦定理及，得：，

即，

所以，即（当且仅当时等号成立）.

所以.

21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1);

(2)100（百辆），2300万元.

【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.

【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，

所以利润

  ,

故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .

（2）当时，，

故当时，；

当时，,

当且仅当， 即时取得等号；

综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．

22．已知梯形中，，，E为线段上一点（不在端点），沿线段将折成，使得平面平面.

(1)当点E为CD的中点时，证明：平面平面；

(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先根据线面垂直的判定得出平面即可；

（2）过作交于点，连，再根据与平面所成角的正弦值为得出图形中的各边关系，进而证明平面，求锐二面角的余弦值时，方法一，可根据面积的比值计算；方法二，可分别取的中点，连接，根据平面平面，过作交于点，连，再证明为二面角的平面角求解即可

【详解】（1）当点为的中点时，由题得，故，，且都在平面中，故平面.又平面，故

平面平面

（2）如图过作交于点，连，则平面平面，平面平面，，平面，故平面

所以是直线在平面上的投影

直线与平面所成角即为直线与直线所成角，即为

，又，

在Rt中，，

在Rt中，，则

，

在中，

，则

所以平面平面，平面平面，，平面，故平面

法1：由上易证平面平面

所以是的投影三角形

设平面与平面所成的锐二面角为

则

法2：分别取的中点，连接

易证平面平面

所以平面与平面所成的锐二面角即为二面角所成角

由上可得平面，且可得中，

中，

过作交于点，连

由平面，且面

所以又，可证面

所以

所以为二面角的平面角

在Rt中，

所以