2022-2023学年吉林省长春市公主岭一中，榆树实验，九台一中等学校高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春市公主岭一中，榆树实验，九台一中等学校高一下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市公主岭一中，榆树实验，九台一中等学校高一下学期期末数学试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的乘法求解即可.【详解】．故选：B2．设，，表示空间中三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】根据直线、平面之间的位置关系，及线面垂直的性质定理进行判断即可.【详解】A选项，当，时，不一定有，也可能异面，所以A错误；B选项，当，平行时，可能不成立，所以B错误；C选项，由线面垂直的性质定理知，C正确；D选项，当，时，可能相交，所以D错误.故选：C.3．已知向量，若，则（    ）A． B．1 C．3 D．7【答案】D【分析】先求出，根据即可求解.【详解】，由，可得，即，解得.故选：D.4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知，则边上的中线的长度为（    ）  A． B． C． D．5【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则即可求解.【详解】由斜二测画法还原得原图，  在中，，，，所以，故边上的中线的长度为.故选：C.5．2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年同期比较，得到同比增长率（同比增长率= (今年车流量去年同期车流量)去年同期车流量）数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ）  A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的第70百分位数为22C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次【答案】C【分析】计算极差可判断A；计算百分位数可判断B；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，求出可判断D.【详解】对于A，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为，故A正确；对于B，因为，所以2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的第70百分位数为22，故B正确；对于C，2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；对于D，2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为，设2022年4月23日的高速公路车流量为万车次，则，解得，故D正确.故选：C.6．如图，已知，，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则（    ）  A．1 B．2C． D．【答案】B【分析】由题意得，分别是线段，的中点，，结合向量数量积的运算，即可得出结果.【详解】由题意得，分别是线段，的中点，，所以.故选：B.7．从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（    ）A． B．C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立【答案】B【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，B错误；故选：B.8．已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得为异面直线与所成角，即可求出，连接、，过点作交于点，过点作交于点，即可求出棱台的高，从而求出棱台的体积.【详解】如图在正四棱台中，，所以为异面直线与所成角，又，所以，，且，所以，连接、，过点作交于点，过点作交于点，则，，所以，则，即正四棱台的高，所以棱台的体积.  故选：D 二、多选题9．已知复数，若，则（    ）A． B．z在复平面内对应的点在第四象限C． D．的虚部为3【答案】ACD【分析】根据复数运算法则化简，然后根据条件，解得，逐个判断选项即可；【详解】，因为，所以，解得，则，，A正确．z在复平面内对应的点为在第一象限，B错误．，C正确．，虚部为3，D正确．故选：ACD.10．已知数据1：，，，，数据2：，，，，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（　　）A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差【答案】AC【分析】对比数据1与数据2的平均数判断选项A; 对比数据1与数据2的极差判断选项B；对比数据1与数据2的中位数判断选项C；对比数据1与数据2的标准差判断选项D.【详解】设数据1：，，，，的均值为，标准差为s，中位数为，极差为则数据2：，，，，的均值为，故A错误，数据2：，，，，的标准差为，故B正确；数据2：，，，，的中位数为，故C错误；极差为，故D正确；故选：AC．11．已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（    ）A．若为锐角三角形，则B．若，，，则有两解C．内切圆的半径D．若，则【答案】BC【分析】根据数量积的定义判断A，根据正弦定理判断B，利用面积公式及数量积的定义判断C，根据数量积的定义及锐角三角函数判断D.【详解】对于A：因为，所以，则，即为钝角，所以为钝角三角形，故A错误；对于B：因为，，，由正弦定理，即，所以，所以有两个解，所以有两解，故B正确；对于C：，又，所以，所以，所以，故C正确；对于D：因为，又，所以，所以，故D错误；故选：BC12．如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（    ）  A．长方体的外接球的表面积为B．C．平面D．的最小值为【答案】ACD【分析】设长方体的外接球的半径为，得到，可判定A正确；根据线面垂直的判定定理结合条件，可判定B错误；连接交连接，利用线面平行的判定定理，可判定C正确；根据平面，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合，可判定D正确.【详解】由长方体中，，，设长方体的外接球的半径为 可得长方体的对角线长为，则，可得，所以长方体的外接球的表面积为，所以A正确；在长方体中，可得平面，因为平面，所以假设，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为在矩形中，与不垂直，所以假设不成立，所以与不垂直，所以B错误；连接交于点，连接，因为为的中点，所以，又因为平面，且平面，所以平面，所以C正确；因为平面，且点在上的一动点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设距离为，因为长方体中，，，可得，所以，所以，所以，又由，可得，所以，即的最小值为，所以D正确.故选：ACD.   三、填空题13．某学校有3名男生和2名女生报名学科竞赛，计划从这5名同学中随机选择2人代表学校去参加比赛，则这2人性别相同的概率为        ．【答案】/0.4【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：3名男生记为ABC，2名女生记为ab，从中随机选2人有AB，AC，Aa，Ab, BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种选法，则选出性别相同的有AB，AC， BC，ab，4种取法，所以取出的2个球都是白球的概率为，故答案为： 14．设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为       ．【答案】7【分析】根据复数的几何意义分析可得：点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部，结合圆的性质运算求解.【详解】因为，则点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部．的坐标为．所以的最大值为．故答案为：7.15．已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为          ．【答案】【分析】根据分层抽样的平均数和方差的公式，准确计算，即可求解.【详解】由题意得，这25名学生每人作品数量的平均数为，所以方差为．故答案为：.16．开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．1961年，它被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．如图，为测量开封铁塔的高度，选择和一个楼房的楼顶为测量观测点，已知在水平地面上，开封铁塔和楼房都垂直于地面．已知，，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则开封铁塔的高度为        ．  【答案】【分析】过点作，交于点，易知为等腰直角三角形，可得，在中，可得，在中，由正弦定理得，进而得到，进而即可求解.【详解】过点作，交于点，易知为等腰直角三角形，所以，在中，因为，所以，在中，由正弦定理得，即，而，所以，则.故答案为：.   四、解答题17．已知向量，，.(1)若，，求向量与的夹角；(2)若，且在上的投影向量的模为1，求与的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求得，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）求得，根据题意列出的方程，即可求解.【详解】（1）当，时，，，，设向量与的夹角为，则，因为，所以向量与的夹角为.（2），，因为，所以，得.又因为在上的投影向量的模为1，则，所以，解得或.18．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.  (1)证明：平面.(2)证明：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证；（2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证.【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点，所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，，所以且，所以为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.  （2）在正三棱柱中为的中点，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面.19．某中学为研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示．  (1)求直方图中的值；(2)请估计本次联考该校数学成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)请估计本次联考该校数学成绩的分位数．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；（2）根据平均数公式计算可得；（3）根据百分位数计算规则计算可得.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）本次联考该校数学成绩的平均数为：.（3）成绩在的频率为，的频率为，的频率为，因为，，所以第分位数在之间，设为，则，解得，所以本次联考该校数学成绩的分位数为.20．袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.【答案】(1)(2)，事件与事件相互独立. 【分析】（1）分部分类抽取，然后概率相加求解；（2）分别求取概率，然后验证的关系判断事件与事件是否相互独立.【详解】（1）第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，则所求的概率为.（2）“第一次取到的是红球”的概率，“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2,1或者1,1，,概率，“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.因为成立，所以事件与事件相互独立.21．在中，角所对的边分别为，__________．在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【答案】(1);(2). 【分析】（1）选择条件①：由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可求出的值，从而可求角；选择条件②：由正弦定理可得，根据两角差的正弦公式，结合角的范围即可求解；（2）由余弦定理可得，根据正弦定理求出的取值范围即可.【详解】（1）若选择条件①．由正弦定理，得，即，因为，所以，所以，则．若选择条件②．因为，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以．（2）由余弦定理，可得，则，所以，则，由正弦定理，得，因为，所以，所以，即的取值范围为．22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，，，.  (1)设平面平面，证明：.(2)E是线段PA上的点，且，二面角的正切值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)2 【分析】（1）根据条件利用线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）根据条件求出二面角的平面角，再根据二面角的正切值建立方程求出λ的值即可.【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以.因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.又平面平面，平面PCD，所以.（2）法一：取AB的中点O，连接PO，交BE于点F，过点O作OH垂直于BD，垂足为H，连接HF.由底面ABCD是正方形，且，，，得是等边三角形，所以.因为，，，所以，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，所以.因为，平面ABCD, 平面ABCD，所以平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，平面OFH，平面OFH，所以平面OFH，平面OFH，所以，所以为二面角的平面角.因为与相似，所以，即，.因为，所以.因为，所以F为的中心，所以E为PA的中点，所以.  法二：取AB的中点O，连接PO，过点E作EG垂直于AB，垂足为G.过点G作GH垂直于BD，垂足为H，连接HE.由底面ABCD是正方形，且，，，得是等边三角形，所以.因为，，，所以，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，所以.因为，平面ABCD, 平面ABCD，所以平面ABCD，所以平面ABCD.因为，平面EGH，平面EGH，所以平面EGH，平面EGH，所以，所以为二面角的平面角.由，得，，，，，…由，解得.