2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．在复平面内，对应的点位于（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为，

则所求复数对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

2．随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数

B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差

C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240

D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加

【答案】C

【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.

【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，

所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；

由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，

所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项B正确；

将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，

可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为，故选项C错误；

由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，

所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.

故选：C.

3．在平行四边形ABCD中，=，=，则=（     ）

A． B．-

C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算法则即可算出答案.

【详解】如图，由题可知，是中点，是三等分点，

所以，

故选：B.

4．已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是，；，，是三个不同平面，法向量分别是，，，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】由空间向量的知识可判断线面位置关系，逐项判断.

【详解】若，，可知平面，同时垂直于平面，

但无法确定平面与的位置关系，故A错误；

若，，可知，，则或，故B错误；

若，,可知或，或，

但无法确定直线m，n的位置关系，故C错误；

若，，可知，，

垂直于同一条直线的两平面平行，故D正确.

故选：D

5．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试,规则为:

①每人至多投3次,先在点M处投第一次,冰壶进入营垒区得3分,未进营垒区不得分;

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶,冰壶进入营垒区得2分,未进营垒区不得分;

③测试者累计得分高于3分即通过测试,并立即终止投掷.

已知投掷一次冰壶,甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5.则甲通过测试的概率为（    ）

A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.35

【答案】C

【分析】由于累计得分高于3分通过测试,则甲通过测试可能为: 点M处进入营垒区, 两次点A处投掷中,第一次进或第一次不进第二次进,或点M处未进营垒区, 两次点A处投掷中,进入两次,分别求出概率,相加后即为甲通过测试的概率.

【详解】解:由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5,

甲若通过测试,则有以下可能:

点M处进入营垒区, 两次点A处投掷中,前一次进,投掷结束,

概率为:;

点M处进入营垒区, 两次点A处投掷中,前一次不进,后一次进,

则概率为:;

点M处未进营垒区, 两次点A处投掷中,进入两次,

则概率为:,

故甲通过测试的概率为: .

故选:C

6．在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.

【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.

因为平面，平面，所以平面平面.

又因为平面平面，，平面，所以平面，且.

在中，因为，所以，所以，

在中，因为，所以，

所以.

故选：B

7．在中，，，，的角平分线交BC于D，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦定理求得的长，再利用，即可求得答案.

【详解】在中,由余弦定理得,

则，即，

解得，（负值舍），

而AD平分，即，

又，故，

则，

故选：B

8．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】作图，取AC中点，根据圆锥的性质及二面角的定义计算PD、AC长即可.

【详解】    

如图所示，∵AB为底面直径，，，

∴是等腰三角形，由余弦定理可得，，

由圆锥的特征易知，

取中点D，连接，

显然有，即二面角为，

∴，则，

∴，

故选：B

二、多选题

9．铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（    ）

A．铁棍的长度的极差为 B．铁棍的长度的众数为

C．铁棍的长度的中位数为 D．铁棍的长度的第80百分位数为

【答案】ABC

【分析】将数据从小到大排序，利用极差、众数、中位数、百分位数的概念求解即可得结论.

【详解】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm），

对于A：极差为，故A正确；

对于B：众数为3.62，故B正确；

对于C：中位数为，故C正确；

对于D：因为％＝6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确.

故选：ABC.

10．设复数，满足，，则下列结论中正确的是（    ）

A．的共轭复数为

B．

C．若是方程的根，则

D．

【答案】AD

【分析】根据共轭复数的概念可得A正确；根据复数的乘方运算可得B不正确；将代入，根据复数相等的条件求出，可得C错误；根据复数和的共轭复数等于复数的共轭复数的和以及复数的模长公式可得D正确.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，所以，故B不正确；

因为是方程的根，且，

所以，所以，所以，故C错误；

因为，所以，所以，所以，故D正确.

故选：AD

11．下列说法正确的是（    ）

A．，，若，则

B．在边长为2的等边三角形ABC中，

C．若，，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】利用向量共线的坐标运算可判断A；求出的夹角，由向量数量积公式可判断B；求出的坐标利用模长公式计算可判断C；对两边平方可得

，再由，求出可判断D.

【详解】对于A， 因为，，若，则，得，故正确；

对于B， 在边长为2的等边三角形ABC中， 的夹角为，所以，故错误；

对于C， 若，，则，故错误；

对于D， 若，则，

所以，所以，则，故正确.

故选：AD.

12．已知四棱锥的底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，，，E为棱BP上一点，，且PA⊥AC，若四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，且球O的体积为，则（    ）

A． B．

C．平面ADE⊥平面PAB D．点E到平面PCD的距离为

【答案】ACD

【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理可判断C，由外接球的球心在中点，利用球的体积可求出，据此求出可判断B，再由勾股定理求出判断A，利用等体积法可求出E到平面PCD的距离判断D.

【详解】如图，则平面ADE⊥平面PAB，

因为平面PAB⊥平面ABCD，是交线，AD⊥AB，平面ABCD，

所以AD⊥平面PAB，因为平面ADE，则平面ADE⊥平面PAB，

又因为平面PAB，所以 AD⊥AP，

又因为PA⊥AC，，平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，

平面ABCD，所以，故 AD，AB，AP两两垂直，

所以是以AD，AB，AP为长、宽、高的长方体的对角线，

故侧棱PC为球O的直径，由，解得，

所以，解得，则，，故.

由，平面，所以AB⊥平面APD

又因为，所以CD⊥平面APD，

因为平面APD ，所以CD⊥PD，由勾股定理得.

设点E到平面PCD的距离为d，由，可知，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则，且，

由，得，

解得.

综上，ACD正确，B错误.

故选：ACD

三、填空题

13．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．则边        ．

【答案】5

【分析】根据题意利用余弦定理直接列方程求解即可

【详解】在中，，，，

则由余弦定理得，即，

化简得，解得或（舍去），

故答案为：5

14．如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为      .

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则，

，，

所以，

即与FG所成的角的余弦值为.

故答案为：

15．已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为      .

【答案】

【分析】先求出向量的模，再根据投影向量的定义即得.

【详解】因为，又向量为单位向量，向量，的夹角为，

所以向量在向量方向上的投影向量为：

.

故答案为：

16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数，则函数在区间取得最小值时        ．

【答案】100

【分析】根据题意结合频率分布直方图求出函数的解析式，然后利用函数的性质求出最小值时的自变量的值即可.

【详解】当时，

，

有函数在单调递减，

所以，

当时，

，

有函数在单调递增，

所以，

所以，

所以在上有最小值0.02，

当时取到最小值.

故答案为：100.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知，.

(1)若，求实数k的值；

(2)若，求实数t的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可；

（2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以，，

因为，

所以，解得.

（2），

因为，所以，

解得.

18．根据世行2020年标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为美元为中等偏下收入国家；人均GDP为美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP至少一个没达到中等偏上收入国家标准的概率．

【答案】(1)该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准

(2)

【分析】（1）计算该城市该城市人均GDP，比较即可得结论；

（2）利用列举法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【详解】（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为

（美元）．

因为，

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．

（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：，，，，

，，，，，，共10个．

设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP至少一个没达到中等偏上收入国家标准”，

则事件M包含的基本事件是：，，，，，，，共7个，

所以所求概率为．

19．在直三棱柱中，、分别是、的中点，，，．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，即可得到，从而得到平面，则，再由直棱柱的性质得到，即可得证；

（2）设点到平面的距离为，根据，利用等体积法计算可得.

【详解】（1）连接，因为，，是的中点，

所以，，则，

所以，又，，平面，

所以平面，

又平面，所以，

又平面，平面，所以，

，平面，所以平面；

（2）由平面，平面，，

又，，平面，

所以平面，

因为，所以，则，，

所以，所以，

设点到平面的距离为，

，

，

 即，解得，

所以点到平面的距离为.

20．为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.

(1)求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.

【答案】(1)和

(2)

【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；

（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解.

【详解】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，

则，，，

即，所以，，

所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和.

（2）有0名同学回答正确的概率，

有1名同学回答正确的概率，

所以不少于2名同学回答正确这道题的概率.

21．记的内角的对边分别为，已知为的中点，面积为，且．

(1)若，求角；

(2)若，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）过A作，垂足为E，在中，求出和，根据求出，，在直角三角形中可求出结果；

（2）根据两边平方得，根据得，两式结合可得，，代入得，结合得，得.

【详解】（1）因为面积为，且，所以，

过A作，垂足为E，如图所示：

中，，，故，，

所以，解得，，

故，又为三角形内角，所以．

（2），，

因为，，则，∴①，

又，即②，

由①②解得，因为，所以，

∴，又，∴．

所以．

22．如图，在四棱锥中，，，M是棱上一点．

(1)若，求证：平面；

(2)若平面平面，平面平面，求证：平面；

(3)在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）连接BD交AC于点，连接OM，推导出，由此能证明平面MAC；

（2）推导出AB⊥PA，AD⊥PA，由此能证明平面ABCD；

（3）分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ABCD的法向量，设，得的坐标，求出平面AMC的法向量，利用向量夹角公式及条件列出关于的方程，求解即可.

【详解】（1）连接BD交AC于点，连接OM，

因为，所以，

因为，所以，

所以，所以，

因为平面平面MAC，

所以平面MAC.

（2）因为平面平面，平面平面平面ABCD，

所以平面，

因为平面PAD，所以．

同理可证：．

因为平面平面，

所以平面ABCD．

（3）分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由，

得，

则，

由（2）得：平面ABCD，

所以平面ABCD的一个法向量为.

设，即，

所以，

设平面AMC的法向量为，

则，即，

令，则，所以．

因为二面角的余弦值为，

所以，解得，

所以的值为．