2022-2023学年北京市第九中学高一下学期数学期末模拟试题含答案

2022-2023学年北京市第九中学高一下学期数学期末模拟试题

一、单选题

1．若角的终边上一点的坐标为，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，

∴，

故选：C.

2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（　　）

A．π B．3π C．2π D．4π

【答案】D

【分析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.

【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,

所以圆柱的表面积.

故选:D.

【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.

3．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.

【详解】由得：，

对应的点的坐标为，位于第一象限.

故选：.

【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.

4．弧度的角是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【解析】首先根据3弧度角的范围，求得结果.

【详解】因为，所以弧度的角是第二象限角.

故选B

【点睛】该题考查的是有关象限角的问题，属于简单题目.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.

【详解】由题意得

,

故选：B

6．已知函数的部分图象如图所示.有下列四个结论：①﹔②在上单调递增；③的最小正周期；④的图象的一条对称轴为.其中正确的结论有

A．②③ B．②④ C．①④ D．①②

【答案】A

【分析】利用图象先求出函数解析式，结合所给结论逐个进行验证.

【详解】因为，所以，由于，所以或；

由于图象最高点在轴左侧，所以，①不正确；

因为，所以，解得，，

令得，周期为，③正确；

由可得，令可得增区间为，②正确；

因为时，，所以不是对称轴，④不正确；

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解解析式，进而研究函数的性质，明确的求解方法是解题关键，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

7．在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.

【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

令，则，，

，因，

于是得，解得，

所以的值为.

故选：B

8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】因为，

由正弦定理可得，

又，

所以，

故选：A

9．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.

【详解】因为，且，则，

所以，

所以

.

故选：C

10．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以为原点建立的直角坐标系，设，设，可得，，可得，利用辅助角公式可得答案.

【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系，设，

设，又，所以，可得，

，

所以

，其中，

又，所以，所以，

，所以，

的最小值为．

故选：B.

二、填空题

11．在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数      ．

【答案】11

【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由题意可得 ，

因为三点共线，所以，

进而

解之得 或

因为 ，所以 ，

故答案为：

12．已知，则 的最小值是         ．

【答案】1

【解析】由，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．

，表示Z到点所对应的点的距离，求出后减去半径可得最小值．

【详解】解：因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．

，表示Z到点所对应的点的距离，

，

所以．

故答案为1．

【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义，表示复平面上对应的点到原点的距离，表示在复平面上对应的点与对应的点间的距离．因此有表示对应的点为圆心，为半径的圆．

13．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是      cm3.

【答案】

【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

【详解】正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为　 　．

【答案】

【分析】先由条件判断sinθ＞0，cosθ＜0，得到sinθ﹣cosθ，把已知条件代入运算，可得答案．

【详解】∵θ是△ABC的一个内角，且，

∴sinθ＞0，cosθ＜0，

∴sinθ﹣cosθ，

故答案为 ．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sinθ﹣cosθ  换成是解题的关键．

15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为       米.

【答案】0.25

【解析】根据时，盛水筒到水面的距离，由函数关系式，求出，再将代入函数关系式，即可得出结果.

【详解】因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，

所以，则，

又，所以，则，

因此当时，，

即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为米.

故答案为：

三、解答题

16．已知，求.

【答案】

【解析】利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简已知条件，由此求得的值.

【详解】，

化为，

.

【点睛】本小题主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式，属于基础题.

17．已知两个非零向量与不共线，

(1)若，求证：A､B､D三点共线；

(2)试确定实数k，使得与共线；

(3)若，且，求实数的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；

（2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；

（3）由向量垂直的坐标表示求解即可

【详解】（1）∵，

∴，

∴共线，

又∵它们有公共点B，

∴A､B､D三点共线；

（2）∵与共线，

∴存在实数，使，

即，∴，

∵是两个不共线的非零向量，

∴，

∴，解得；

（3）∵，

且，

∴，

解得.

18．在中，已知.

（1）若，求a，c；

（2）求的最大角.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理可知，结合题干等式，即可解出答案.

（2）将当做已知数，联立题干等式，即可用表示出，根据边长大于0，再利用作差法即可判断出边最大，根据大边对大角，可得到角为最大角，将上面等式代入角的余弦定理即可得出答案.

【详解】（1）由正弦定理及已知条件可设，则.

由已知条件得，

（☆）

，即，

或.

当时，舍去

（2）由（☆）式得

代入中得.

又.

又.

中，c为最大边，即C为最大角，

由已知得，

又.

【点睛】本题考查解三角形，属于中档题.熟练掌握正余弦定理是解本题的基础.本题的关键在于判断出边为最大边.

19．已知函数

(1)求的最小正周期和单调递减区间;

(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【详解】(1)注意到,

.

于是, 的最小正周期.

由，

故的单调递减区间为.

(2)由,知，

于是,当时,取得最大值,即.

要使恒成立,只需，即.解得.

故m的取值范围是.

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，D为AC边上的一点，，且 ，求△ABC的面积．

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；

（2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积.

【详解】（1）解：由正弦定理知，，

∵，

代入上式得，

∵，

∴，，

∵，∴.

（2）若选①：

由平分得，，

∴，

即．

在中，由余弦定理得，

又，∴，

联立得，

解得，（舍去），

∴．

若选②：

因为，，

，得，

在中，由余弦定理得，

即，

联立，可得，

∴．