2022-2023学年新疆哈密市第八中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆哈密市第八中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．复数（位虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数求出在复平面内对应的点的坐标，即可求解．

【详解】由复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．

故选：D．

2．已知复数，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合复数的减法运算，即可求解.

【详解】复数，，

则.

故选：

3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表

则样本数据落在上的频率为（    ）

A．0.42 B．0.39 C．0.52 D．0.64

【答案】D

【分析】由频数分布表可直接计算求得结果．

【详解】由频数分布表知：样本数据落在内的频率为.

故选：D．

4．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90

57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ）

A．50 B．09 C．71 D．20

【答案】B

【分析】根据随机数的产生规则确定．

【详解】依题意，样本编号依次为：14，05，11，09，…，第4个样本编号是09，

故选：B．

5．已知一组数据的平均数为2，方差为1；则的平均数和方差分别为（    ）

A．2，1 B．8，3 C．8，5 D．8，9

【答案】D

【分析】根据平均数和方差的性质求解即可.

【详解】因为数据的平均数为2，方差为1；

所以的平均数为6，方差，

所以的平均数为8，,方差.

故选：D

6．若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为（   ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】根据球的表面积、体积公式计算可得.

【详解】设球的半径为，依题意可得，显然，所以.

故选：D

7．若圆锥的底面半径与高均为，则圆锥的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆锥的底面半径与高均为，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后由圆锥的表面积公式求解.

【详解】因为圆锥的底面半径与高均为，

所以圆锥的母线长为，

所以圆锥的表面积等于，

故选：A

【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和表面积的求法，属于基础题.

8．设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】A

【分析】对于A，由线面垂直的判定定理判断；对于BC，由线面平行的性质判断；对于D，由线面垂直的性质判断

【详解】解：对于A，因为，，所以，所以A正确；

对于B，当，时，与可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，

对于C，当，时，与可能平行，可能相交不垂直，也可能在内，所以C错误，

对于D，当，时，与可能平行，可能相交不垂直，也可能在内，所以D错误，

故选：A

9．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　）

A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数

【答案】C

【分析】根据百分位数的定义得到BD错误，C正确；A选项可举出反例.

【详解】因为为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，BD错误；

A选项不一定正确，比如第75和第76个数均为9.3，那么这100个数据中有76个数小于或等于9.3．

故选：C

二、多选题

10．（多选）已知复数，则下列结论正确的是（　　）

A．的实部是

B．的虚部是

C．若，则

D．当且时，是纯虚数

【答案】ACD

【分析】根据复数实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数相等的定义即可判断C；根据纯虚数的定义即可判断D.

【详解】复数，

则的实部是，虚部为，故A正确，B错误；

若，则，故C正确；

当且时，是纯虚数，故D正确.

故选：ACD.

11．某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：

63  38  25  42  56  48  53  39  28  47

45  52  59  48  41  62  48  50  52  27

则这组数据的（    ）

A．众数是48 B．中位数是48 C．极差是37 D．5%分位数是25

【答案】AB

【分析】利用众数，中位数，极差和百分位数的定义进行判断即可.

【详解】这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确；

从小到大排列20个数据分别为25，27，28，38，39，41，42，45，47，

48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位和第11位均为48，

两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；

最大值为63，最小值为25，因此极差为，C错误；

是整数，分位数应取第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误．

故选：AB．

12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（　　）

A．若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′

B．点C到平面ABC′D′的距离为

C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于

D．三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π

【答案】ACD

【分析】直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法的应用求出结果．

【详解】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，

对于选项A：因为点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥AD′，且AD′∥BC′故MN∥BC′，故A正确；

对于选项B：点C到面ABC′D′的距离为B′C长度的一半，即h，故选项B错误；

对于选项C：直线BC与平面ABC′D′所成的角即为∠CBC′等于，故C正确；

对于选项D：三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球半径r，故其外接球表面积S＝4πr2＝4π3π，故D正确．

故选：ACD．

【点评】本题考查的知识要点：线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

三、填空题

13．某高中共有1500人，高一、高二、高三年级人数比为人，现用分层抽样调查学生的近视状况，共调查150人，则高二年级应调查的人数为         ．

【答案】

【分析】根据三个年级的人数比，求出高二年级人数占总人数的比例，用样本容量乘以高二年级人数占总人数的比例，即可得出高二年级应调查的人数．

【详解】因为高一、高二、高三年级人数比为人，

所以高二年级人数占总人数的比例是，

因为用分层抽样的方法从该学校高中三个年级中抽取容量为150的样本，

所以从高二年级抽取，

故答案为：50．

14．棱长为4的正方体的内切球的体积为      ．

【答案】/

【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，再由体积公式计算．

【详解】由题意球半径为2，体积为．

故答案为：

15．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为      ．

【答案】/

【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解.

【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，

所以，

因为是平行四边形，所以，设，

则，故，解得，

所以，则点D对应的复数为.

故答案为: .

16．给出下列四个命题：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；

④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．

其中真命题的序号是      ．

【答案】②③

【分析】根据线面垂直的定义与判定定理判断.

【详解】由线面垂直的定义知②正确，由线面垂直的判定定理知③正确，①④错误，因为其中平面内的两条直线不一定相交．

故答案为：②③

四、解答题

17．已知复数，试求实数为什么值时，复数分别为：

(1)实数；

(2)纯虚数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据为实数可得出其虚部为零，可求得实数的值；

（2）根据为纯虚数可得出其实部为零，虚部不为零，由此可求得实数的值.

【详解】（1）解：若为实数，则，得：.

（2）解：若为纯虚数，则且，解得：.

18．已知复数z满足，i为虚数单位．

(1)求复数z的共轭复数；

(2)若，且复数的模不大于复数z的模，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由复数运算化简复数为代数形式，然后由共轭复数定义得结论；

（2）根据复数模的定义列不等式求解．

【详解】（1）由已知，所以；

（2）由（1），

因为，所以，解得．

19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲　82　81　79　78　95　88　93　84

乙　92　95　80　75　83　80　90　85

（1）求甲成绩的80%分位数；

（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？

【答案】（1）第7个数据93.（2）派甲参赛比较合适．见解析

【分析】（1）将甲的成绩从小到大排列，根据百分位数的概念即可得解；

（2）分别计算出甲、乙、甲、乙，根据数据大小关系即可得解.

【详解】（1）把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：

78　79 　81　82　84　88　93　95

因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93.

（2）由题意甲(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，

乙(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.

甲[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，

乙[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，

∵甲＝乙，甲<乙，

∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

【点睛】本题考查了总体百分位数的求解，考查了平均数、方差的求解和应用，属于基础题.

20．某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：

(1)求图中的值；

(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）

(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少.

【答案】(1)

(2)

(3)65分

【分析】（1）由所有频率和为1，列方程求出的值，

（2）由平均数公式求解即可，

（3）设分数线定为，根据频率分布直方图可知，列出方程估计录取的分线

【详解】（1）由题意得，解得

（2）这些应聘者笔试成绩的平均数为

（3）根据题意，录取的比例为，

设分数线定为，根据频率分布直方图可知，则

，解得，

所以估计应该把录取的分数线定为65分

21．在直三棱柱中，，D是AB中点，．

(1)证明：//平面．

(2)求异面直线与所成角的大小；

【答案】(1)证明见解析．

(2)．

【分析】（1）连接交于点，连接，得，然后可证得线面平行；

（2）由（1）得是直线和所成角或其补角，在中求得此角即可．

【详解】（1）连接交于点，连接，

因为是矩形，所以是的中点，又是中点，所以，

平面，平面，

所以平面；

（2）由（1）知是直线和所成角或其补角，

由题意，所以，即，

所以直线和所成角是．

22．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，，.

（1）求证：PO⊥底面ABCD；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】（1）证明PO⊥底面ABCD，只需PO⊥BD，PO⊥AC即可；

（2）当，取PA中点E，证明出平面EMC∥平面BDF，即可得出CM∥平面BDF.

【详解】（1）证明：底面ABCD是菱形，ACBD=O  O 为AC，BD中点

在△PBD中，PB=PD   PO⊥BD  

在△PAC，PA=PC，O 为AC，BD中点   PO⊥AC

又ACBD=O    PO⊥底面ABCD；

(2)存在， .

证明如下：取PA中点E，在PB上取点M，使，连接CM，连接CE，ME，OF，

AP=4AF，  E为AP中点，又

在△PFB中，，即EM∥BF，  

EM平面BDF，BF平面BDF

EM∥平面BDF，

由F为AE中点知EC∥OF，  

EC平面BDF，OF平面BDF

EC∥平面BDF

ECEM=E平面EMC∥平面BDF  CM平面EMC

CM∥平面BDF  

【点睛】本题主要考查线面垂直，面面平行的判定定理，解题的关键是对定理的熟练应用，属于中档题.