2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市赤峰红旗中学高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市赤峰红旗中学高一下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市赤峰红旗中学高一下学期期末数学试题 一、单选题1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由集合的运算可知，阴影表示的集合为，即可求解.【详解】,，所以阴影表示的集合为.故选：B2．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（    ）A．三棱柱 B．四棱锥 C．四棱柱 D．五棱台【答案】A【分析】判断各选项中几何体的顶点个数后可得结论．【详解】三棱柱有6顶点，四棱锥有5个顶点，四棱柱有8个顶点，五棱台有10个顶点．故选：A．【点睛】本题考查空间几何体的顶点个数，掌握基本几何体的结构是解题关键，属于基础题．3．已知非零向量，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分、必要性定义，结合向量的垂直表示，即可确定答案.【详解】因为为非零向量，所以.故选：C.4．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，求得，进而求得.【详解】依题意：即，解得，所以．故选：D5．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（    ）（参考数据：，）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元【答案】D【分析】根据题意将代入模型中求出的值，再将代入可求得答案【详解】由题意得当时，，则，得，所以，得，所以，当时，，得，所以，所以，解得，所以当银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为5万元，故选：D6．空间四边形的对角线，，分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，在中，即可求解.【详解】取的中点，分别连接，因为分别为的中点，可得，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，即为或其补角因为，所以，在中，因为且，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D  7．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥底面圆的半径和的关系，结合圆锥体积公式，即可求解.【详解】由题意可知，半圆的弧长为，设圆锥的高为，底面圆的半径为，则母线为，则，所以，则，，圆锥体积，解得：.故选：B8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调减函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图像关于直线对称，∴，又函数在上为单调减函数，∴，即，∴，故选：C. 二、多选题9．甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（    ）A．个球都是黑球的概率为 B．个球都是白球的概率为C．个黑球个白球的概率为 D．个球中最少有个黑球的概率为【答案】AB【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取1个球，该球为黑球或白球的概率，然后利用独立事件、互斥事件的概率公式可判断各选项．【详解】从甲袋中任取1个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为，从乙袋中任取1个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为．对于A选项，2个球都是黑球的概率为，A对；对于B选项，2个球都是白球的概率为，B对；对于C选项，1个黑球1个白球的概率为，C错；对于D选项，个球中最少有个黑球的概率为，D错．故选：AB．10．函数（且）在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是（    ）  A． B．的图象关于点对称C．的图象的对称轴为直线 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】BCD【分析】由正弦函数图象性质求得，再依次讨论各选项即可．【详解】由题知，所以，解得，所以，再将点代入得，即，所以，因为，所以，所以，故A错误；，所以函数的图象关于点对称，故B正确；，所以的图象的对称轴为直线，故C正确；当，则，又， ，，则可得在上的大致图象：  若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ）  A．直三棱柱的体积是 B．的最小值为C．直三棱柱的外接球表面积是 D．三棱锥的体积与点的位置无关【答案】ACD【分析】对于A，利用棱柱的体积公式直接求解即可，对于B，将直棱柱的两个侧面和展在同一个平面求解，对于C，上下两个底面的中心连线的中点就是外接球的球心，然后求出半径可求得球的表面积，对于D，由∥平面，而的面积为定值，从而可进行判断.【详解】对于A，因为在直三棱柱中，，，，所以直棱柱的体积为，所以A正确，对于B，将直棱柱的两个侧面和展在同一个平面，如图所示，  则的最小值为，所以B错误，对于C，由题意可知为边长为1的等边三角形，设的中心分别为，连接，设的中点，则点为直三棱柱外接球的球心，连接，则，所以,所以直三棱柱外接球的表面积为，所以C正确，  对于D，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点是侧棱上的一个动点，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积与点的位置无关，所以D正确，故选：ACD12．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表，如图甲、乙所示，下列说法正确的是（    ）  A．2022年农村居民人均可支配收入增长额超过城镇居民人均可支配收入增长额B．2022年城镇居民收入增长率快于农村居民C．从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕D．2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%【答案】CD【分析】从图甲的柱状图分别计算2022年城镇居民、农村居民人均可支配收入增长额即可判断A；从图甲的折线图即可看出增长率可判断B；从图乙可看出2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，再结合题目所给的恩格尔系数的比例即可判断C；从图乙可看出2022年食品烟酒和居住占比，相加即可判断D．【详解】对于选项A，从图甲可知，2022年城镇居民人均可支配收入增长额为，2022年农村居民人均可支配收入增长额为，故A错误；对于选项B，从图甲可知，2022年城镇居民收入实际增速为，2022年农村居民收入实际增速为，故B错误；对于选项C，从图乙可知，2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，属于的范围，故C正确；对于选项D，从图乙可知，2022年食品烟酒和居住占比为，故D正确．故选：CD． 三、填空题13．已知不等式的解集为，若函数（且），则      ．【答案】6【分析】由题意可得是方程的两个根，然后利用根与系数的关系可求出，从而可求出的解析式，进而可求得.【详解】因为不等式的解集为，所以是方程的两个根，所以，解得，所以，所以.故答案为：614．已知复数满足：，则      ．【答案】【分析】根据复数的除法运算，可求出，再根据复数模的公式即可求出结果.【详解】因为，所以，故.故答案为：.15．如图，平行四边形的对角线交于点，线段上有点满足，线段上有点满足，设，，已知，则      ．  【答案】/【分析】根据图形，结合向量的加法，减法，数乘的法则，即可表示.【详解】，所以，，.故答案为：16．在锐角中，角的对边分别为，且满足，若恒成立，则实数的取值范围为      ．=【答案】【分析】首先根据正弦定理，结合三角恒等变换求得，再将不等式参变分离为恒成立，转化为求函数的最小值，即可求解.【详解】由正弦定理边角互化可知，，则，得，所以，因为，，，所以，则，所以不等式恒成立，即恒成立，则因为，，因为三角形为锐角三角形，所以，解得：，则，设，函数在区间单调递减，所以函数的值域为，即，则，所以，得.故答案为： 四、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.(1)求A；(2)若a=2，求△ABC面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理化角为边，再结合余弦定理、商数关系可求得；（2）由余弦定理结合基本不等式求得的最大值后可得面积最大值．【详解】（1）因为，由余弦定理得，整理得，因为，所以，所以，则，所以.（2）由余弦定理得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形ABC的面积最大值为．18．上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人．(1)求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？【答案】(1)，；平均数为分(2)小明能被选取 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图即可求得，然后代入公式即可求得平均数；（2）根据题意，由条件列出方程，即可得到结果.【详解】（1）设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，所以，则，，又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06．则平均数为分.（2）由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为，∴，∵，故小明能被选取.19．已知向量，（），函数，其最小正周期为．(1)求的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调增区间和当时，函数的值域．【答案】(1)(2)的单调递增区间为：；的值域为. 【分析】（1）首先根据数量积公式，结合三角恒等变换，化简函数，再根据周期公式，求；（2）利用三角函数图象变换规律，求得函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，即可求解.【详解】（1）∵向量，且函数，∴，，又因为函数的最小正周期，所以，所以，所以，；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，所以，根据正弦函数的单调递增区间，令，解得的单调递增区间为：．当时，，函数的值域为.20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，且，分别为的中点．  (1)证明：；(2)求与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）因为是的中点，，要证，只需证明垂直所在平面．即可；（2）连接，说明是与平面所成的角，在中，解与平面所成的角．【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点，所以，又，所以，则，，，四点共面．因为是的中点，，所以．因为平面，平面，所以．在直角梯形中，．而，，平面，因此平面．因此平面，所以．又因为，且平面，所以平面．因为平面，所以．（2）连接，由（1）知平面，故是与平面所成角．  设，于是，．另一方面，．因此，在直角三角形中，所以与平面所成角的为．21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？【答案】(1)A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.(2)①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元. 【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；（2）①：利用代入法进行求解即可；②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为A产品的利润y与投资x成正比，所以设，由函数图象可知，当时，，所以有，所以；因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，所以设，由函数图象可知：当时，，所以有，所以；（2）①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，所以A产品的利润为，B产品的利润为，所以获得总利润为万元；②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，设企业获得的总利润为万元，所以，令，所以，当时，即当时，有最大值，最大值为，所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.22．已知函数是偶函数，且，.(1)当时，求函数的值域；(2)设，，求函数的最小值；(3)设，对于（2）中的，是否存在实数，使得函数在时有且只有一个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】(1)由条件求出，由此求出，利用单调性求其在时的值域；(2) 利用换元法，考虑轴与区间的位置关系求，(3)令，由已知可得函数，，在上有且仅有一个交点，由此列不等式求的取值范围.【详解】（1）因为函数是偶函数，故而，可得，则，故易知在上单调递增，故，；故（2）令，故；则，对称轴为①当时，在上单增，故；②当时，在上单减，在上单增，故；③当时，在上单减，故；故函数的最小值（3）由（2）知当时，；则，即令，，问题等价于两个函数与的图象在上有且只有一个交点；由，函数的图象开口向下，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，可图知；故【点睛】函数的零点个数与函数和的图象的交点个数相等，故可通过函数图象研究形如函数的零点问题.