2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗第一中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗第一中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据复数的四则运算法则求出，再根据复数的虚部的定义即可求出．

【详解】因为，所以的虚部是．

故选：B．

2．已知向量，若，则实数的值是（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】A

【解析】本题主要考查了向量的垂直方法以及数量积运算,属于基础题型.

【详解】．∵,∴,∴．

故选：A

【点睛】本题主要考查了数量积运算与垂直性质,属于基础题型.

3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A．240，18 B．200，20

C．240，20 D．200，18

【答案】A

【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．

【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，

∴抽取的户主对四居室满意的人数为：

故选A．

【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．

4．已知中，，则等于（    ）

A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°

【答案】D

【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，

即，

又由，所以，且，

所以或，

故选：D.

5．管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ）

A．2800 B．1800 C．1400 D．1200

【答案】C

【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.

【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，

由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，

所有池塘中有标记的鱼的概率为：，

又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，

所以，解得，

即估计该池塘内共有条鱼.

故选：C.

6．如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由平面向量的运算法则求解

【详解】平行四边形中，因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，，则，

故选：B

7．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示.若，则该直四棱柱的表面积为（    ）

A．+20 B．24 C．+10 D．+20

【答案】A

【分析】根据斜二测画法的规则，可得底面四边形的平面图形，求得四边形的面积，结合柱体的表面积公式，即可求解.

【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形，如图所示，

因为，

可得，

又为矩形，所以与平行且相等，

所以四边形为平行四边形.

在直观图中，由斜二测画法规则知，则为等腰直角三角形，

所以，则，

所以四边形的面积为，

在直角中，.

又由直四棱柱的高为，

所以该直四棱柱的表面积为.

故选：A.

8．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在中由余弦定理可得答案.

【详解】取的中点，连接，所以，

直线与所成角即为直线与所成的，

所以，，

，

在中由余弦定理可得,

因为，所以.

故选：C.

二、多选题

9．已知复数满足(是虚数单位)，以下命题正确的是(    )

A． B．的虚部为

C．复平面上对应的点在第四象限 D．

【答案】AC

【分析】根据复数的四则运算法则求出z，根据复数的基本概念逐项判断即可．

【详解】，

则，故A正确；

∵z＝1－i，∴z的虚部为－1，故B错误；

z对应的点(1，－1)在第四象限，故C正确；

，故D错误．

故选：AC．

10．设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面.下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】CD

【分析】利用线面平行平行的性质，线面垂直的性质，面面平行的判定定理逐项判断各选项的对错.

【详解】由，可得直线，可能相交，平行，异面，A错，

由，可得，B错，

由，可得，C对，

由，可得，D对，

故选：CD.

11．在中，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．着，则定为等腰三角形

C．若，则定为直角三角形

D．若三角形的三边满足，则此三角形为钝角三角形

【答案】ACD

【分析】对于A，利用正弦定理和三角形的性质判断，对于B，根据正弦函数的性质求解，对于C，由勾股定理的逆定理判断，对于D，利用余弦定理判断

【详解】对于选项A，在中，若，则，因此，A正确；

对于选项B，若，且，则或，即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，所以B错误，

对于选项C，若，由勾股定理的逆定理可知定为直角三角形，所以C正确，

对于选项D，若三角形的三边满足，由余弦定理知，可得C为钝角，所以D正确，

故选：ACD

12．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，则当移动时，下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的体积不是定值

【答案】ABC

【分析】由面面平行证明线面平行判断A；由线面垂直的判定定理判断B；由的面积为定值，B到平面AEF的距离为定值，判断CD.

【详解】连接，正方体中，，从而易得：平面平面，又 平面，平面，选项A正确.

连接，与相交于点，与交于点，，，，，，易知平面，即，由线面垂直的判定可知，平面，即平面，故B正确；

中，EF=1，点A到B1D1距离不变，的面积为定值，且B到平面 的距离为定值，即B到平面AEF的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故C正确，D错误；

故选：ABC

三、填空题

13．已知复数满足，其中是虚数单位，则          ．

【答案】

【分析】利用虚数单位的性质结合复数的除法可求，再利用公式求出其模.

【详解】因为，故.

故即，故，

故答案为：.

14．已知向量、满足，，，则      .

【答案】/－0.25

【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案.

【详解】由可得，即，

即，所以，

故答案为：.

15．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.在点测得塔顶的仰角，且，则塔高为     

【答案】

【分析】中求出，利用正弦定理求得，再根据直角三角形的边角关系得出的值．

【详解】在中，，

由正弦定理得，，

解得，

在中，，所以，所以塔高为．

故答案为：．

16．半径为的球的球面上有四点，，，，已知为等边三角形且其面积为，三棱锥体积的最大值为，则球的半径等于      .

【答案】4

【分析】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，然后利用图形中的几何关系和条件可求得答案.

【详解】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，

因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，

所以，，故，

故三棱锥的高，

所以，所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，.

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值；

(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)且

【分析】（1）根据向量平行的坐标运算可求得，进而求出结果.

（2）根据向量垂直的坐标运算即可得出答案.

（3）由题意分析得到且与不共线，结合（1）利用相关坐标即可求得结果.

【详解】（1）因为向量，且，

所以，解得，

所以.

（2）因为，且，

所以，解得.

（3）因为与的夹角是钝角，

则且与不共线，

即且，

所以且.

18．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；

（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.

【详解】（1）解法一：证明：取中点，连结，，

由三角形中位线性质可得且，

又因为且，所以且，

所以是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面．

解法二：证明：因为平面平面，平面平面，，

所以平面，又平面，所以．

如图，以为原点，以，， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

．

因为，易知为平面的一个法向量．

因此，所以．

又平面，所以平面．

（2）解法一：证明：因为，，，

所以，所以．

因为平面平面，平面平面，，

所以平面，又平面，所以．

又，平面，所以平面．

解法二：由（1）可得，，．

设平面的一个法向量， 则

，取，得，

所以是平面的一个法向量．

因此，所以平面．

19．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且

(1)求角C

(2)若，，D为BC的中点，，求△ABC的面积

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解；

（2）根据余弦定理可求CD值，进而可求a，根据三角形面积公式即可求解．

【详解】（1）由题可得，

由余弦定理得，

因为，

所以；

（2）在三角形ADC中，，

即，

解得或，

即或，

因为，所以由正弦定理可得，故，

因为，

所以，故，

所以，

所以．

20．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点（不含端点），且满足．

(1)若，用向量，表示；

(2)在（1）的条件下，若，，且，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以向量，为基底，根据向量的线性运算，把用向量，表示；

（2）以向量，为基底，结合（1）中的结论，求的值.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当时，．

（2）由（1）可知，

所以

．

因为，，，

所以，

即的值．

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求B；

(2)若，求△ABC面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，结合余弦定理即可求解;（2）根据余弦定理边的关系以及均值不等式即可得到，进而根据面积公式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理，得，

所以，又因为

故．

（2）方法1：由余弦定理得，当时等号成立

又，所以△ABC面积的最大值为．

方法2：由正弦定理，得，

所以，，

，

又，所以，

所以

，

当时，△ABC的面积最大，最大值为．

22．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积；

(3)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；

（2）根据棱锥的体积公式即可求得答案;

（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【详解】（1）证明：因为在正方形中，

折叠后即有，

又平面，

所以平面，而平面,

故；

（2）由题意知，故，

故；

（3）取线段的中点G，连接，

因为，

所以有，平面,平面,

所以即为二面角的平面角，

又由（1）得平面，平面，

故,而,,

故,

即二面角的余弦值为.