2022-2023学年内蒙古呼和浩特铁路第一中学高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古呼和浩特铁路第一中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，由复数虚部的概念即可得解.

【详解】由题意，

所以复数的虚部为.

故选：D.

【点睛】本题考查了复数的运算与复数虚部的概念，属于基础题.

2．已知，，，则（    ）

A．8 B．5 C．2 D．7

【答案】C

【分析】由及，可得，从而根据向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】解：因为，，所以，

因为，所以，解得，

所以，

所以，

故选：C.

3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

4．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】D

【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解.

【详解】若，，，则或异面，故A错误；

若，，则或，故B错误；

若，，，可能有，故C错误；

若，，则，又，则，故D正确，

故选：D.

5．已知，则．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】.

所以选A.

【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.

6．复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算，化简，即可得出答案.

【详解】因为，

所以，

所以，复数在复平面内所对应的点为，

所以，复数在复平面内所对应的点位于第四象限.

故选：D.

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.

【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，

由条件可知：，

又由图形可知：，所以，

所以，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，所以，

所以最小的正三角形的面积为：，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.

二、多选题

9．下列命题中，真命题的是（    ）

A．若为实数，则 B．若，则为实数

C．若为实数，则为实数 D．若为实数，则为实数

【答案】ABC

【分析】根据复数相关定义和概念，结合选项进行逐一分析即可.

【详解】不妨设，故可得，

若为实数，则，故，故正确；

若，故可得，故可得，则，故正确；

若为实数，故可得，显然，故正确；

若，即，无法得到，故错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查复数以及共轭复数的定义和概念，涉及复数的乘法运算，属基础题.

10．对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若是锐角三角形，则不等式恒成立

C．若，则为钝角三角形

D．若，，，则的面积为或

【答案】BCD

【分析】根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解；

【详解】对于．

对A，，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；

对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；

对C，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；

对D，，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．

综上可得：只有BCD正确．

故选：BCD．

【点睛】正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性等知识的综合运用，是求解本题的关键.

11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用向量数量积的运算性质，向量的加减法法则及正八边形的性质逐个分析判断即可

【详解】解：对于A，，所以A正确，

对于B，由，得 ，所以B错误，

对于C，

，所以C正确，

对于D，由C可知 ，所以D错误，

故选：AC

12．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为，

对于A，如图（1）所示，连接，则，

故（或其补角）为异面直线所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，

由正方体可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，

故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，

则，

因为，故，故，

所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．      .

【答案】1

【分析】根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】解：，

故，

即.

故答案为：.

14．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，，则∥；

②若∥，，则；

③若，，则∥；

④若a⊥b，，，则．

其中，真命题的序号是      ．

【答案】④

【分析】根据线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质逐个分析判断即可

【详解】对于①，当a⊥b，时，∥或，所以①错误，

对于②，当∥，时，直线与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以②错误，

对于③，当，时，∥或，所以③错误，

对于④，当a⊥b，时，∥或，因为时，所以，所以④正确 ，

故答案为：④

15．复数，则          .

【答案】/0.8

【分析】利用复数代数形式的除法运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果．

【详解】，

，则.

故答案为：.

16．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰长为，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于        ．

【答案】

【分析】画出原图，由此计算出原图的面积.

【详解】直观图中，作，

等腰梯形中，，

所以.

原图如下图所示：

其中，

所以原图的面积为.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，，且，．

(1)求向量、；

(2)若，，求向量，的夹角的大小.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；

（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．

【详解】（1）解：因为，，，且，，

所以，，

所以，，

所以，；

（2）解：设向量，的夹角的大小为．

由题意可得，，，

所以，

因为，所以．

18．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理处理，得到角C的大小，即可；

（2）利用余弦定理，求得的值，结合三角形面积计算公式，即可．

【详解】（1）由已知及正弦定理，.

因为为锐角，则，所以.因为为锐角，则.

（2）由余弦定理，，则，即，

即.因为，则.

所以的面积.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：

（1）利用正弦定理，将题中式子进行边角转化，结合锐角三角形的条件，求得角的大小；

（2）利用余弦定理，结合（1）的结果以及（2）中条件，列出等量关系式，求得边长的值，再利用三角形面积公式求得结果.

19．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．

(1)求B点到D点的距离BD；

(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．

【答案】（1）；（2）1

【分析】（1）在△DAB中利用正弦定理，求出BD；

（2）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间．

【详解】(1)由题意知AB=5（3+）海里，

∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，

∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，

在△DAB中，由正弦定理得=，

∴DB==

=

==10（海里）

(2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，

BC=20（海里），由余弦定理得

CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC

=300+1200﹣2×10×20×=900，

∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）．

答：救援船到达D点需要1小时．

【点睛】解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

20．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．

(1)求角A

(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，再由正弦定理化角即可得解；

（2）根据面积公式可得，在中再由余弦定理求解即可.

【详解】（1）因为，，，所以．

由正弦定理得．

因为，所以，所以．

因为，所以；

（2）因为△ABC的面积为．所以．

因为c＝2．．所以．

在三角形ABM中，∵M为AC的中点．∴，由余弦定理得

．

所以．

21．已知在中，．

(1)求；

(2)设，求边上的高．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.

【详解】（1），

，即，

又，

，

，

，

即，所以，

.

（2）由（1）知，，

由，

由正弦定理，，可得，

，

.

22．在中，，，分别是角，，的对边，并且．

（Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．

（Ⅱ）求的最大值．

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）1.

【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出，若选择①，②，根据余弦定理求出，然后根据面积公式可求得结果；若选择①，③，根据正弦定理和余弦定理求出及与的关系，根据面积公式可求得结果；若选择②，③，根据正弦定理求出，再根据面积公式可求得结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，通过三角函数恒等变换化简得，利用正弦函数的单调性即可求解.

【详解】（Ⅰ），

由余弦定理知，，

，．

选择①②：

，

，即，解得或（舍负），

则的面积；

选择①③：

由正弦定理知，，

，，

，

，

由构成的方程组，解得，，

则的面积．

选择②③：

由正弦定理知，，

，，

则的面积．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

，

，

，

，，

，，

故的最大值为1．