2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．向量加法运算：       

【答案】

【分析】利用向量加法的运算法则求解即可.

【详解】.

故答案为：.

2．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点在直观图中对应的点为，则 的坐标为         .

【答案】

【分析】过点和轴平行的直线与过点和轴平行的直线交点即是点，得到答案.

【详解】在坐标系中，

过点和轴平行的直线与过点和轴平行的直线交点即是点，

所以为.

故答案为：

3．已知复数满足（是虚数单位），则 ．

【答案】5

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．

【详解】由（1+i）z=1﹣7i，

得，

则|z|=．

故答案为5．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

4．已知，，则           .

【答案】

【解析】利用同角三角函数基本关系求，再利用诱导公式即可求解.

【详解】因为，，

所以，可得

所以，

，

故答案为：.

5．已知，，若与互相垂直，则实数的值是          ．

【答案】

【分析】由向量垂直的坐标运算列出方程求解即可．

【详解】因为，

所以，解得.

故答案为：．

6．空间两个角和，若，，，则的大小是      ．

【答案】或

【分析】根据空间等角定理及推论判断即可.

【详解】解：空间两个角和，因为，且，

则或.

故答案为：或.

7．向量的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为           .

【答案】

【分析】根据新定义结合向量的夹角公式即得.

【详解】因为，

所以，

则，所以.

故答案为：.

8．已知是实系数一元二次方程的一个根，则实数=          .

【答案】

【分析】将方程的根代入方程，由复数相等可列方程，即可得的值.

【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根，

所以，整理得

因为，所以，解得，.

故答案为：.

9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为          ．

【答案】

【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AEDC，从而得到∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角，从而可解.

【详解】

如图所示，把展开图恢复到原正方体．

连接AE，BE．由正方体可得且，

∴四边形ADCE是平行四边形，∴AEDC．

∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角．

由正方体可得：，∴是等边三角形，∴．

∴异面直线AB与CD所成的角是60°．

故答案为：60°

10．已知函数，对于任意，都有成立，则     ．

【答案】/

【分析】对于任意，都有成立,则是的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得，再计算其正弦值．

【详解】,

对于任意，都有成立,则是的最大值,

所以，，，，

．

故答案为：．

11．在中，，则              ．

【答案】

【分析】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简可得，再利用辅助角公式，即可求得答案.

【详解】因为中，，

故由正弦定理可得，

所以，

即，

而，故，

所以，

由于,故,

故答案为：

12．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有      

（1） ；（2）；  

（3） ；（4）与夹角的余弦值为.

【答案】（1）（3）

【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示，可判断（1）正确；根据三点共线的性质，结合可得，可判定（2）错误；根据余弦定理求得，结合，可判定（3）正确；在中，根据余弦定理，可判定（4）错误.

【详解】对于（1）中，由向量的平行四边形法则，因为为线段的中点，

可得，所以（1）正确；

对于（2）中，设，由（1）可得，所以，因为三点共线，可得，解得，可得，

所以，所以，

即，所以（2）错误；

对于（3）中，由余弦定理得，由（2）知，所以，即，

所以，所以（3）正确；

对于（4）中，在中，，，

可得，所以（4）错误；

故选：（1）（3）.

二、单选题

13．“”是“复数是纯虚数”的（    ）条件.

A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要

【答案】A

【分析】根据纯虚数的定义，可得答案.

【详解】因为复数是纯虚数且，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件.

故选：A

14．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．与的夹角是钝角 B．

C．在上的投影的数量为 D．在上的投影的数量为

【答案】C

【分析】利用数量积的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；求出投影的数量判断CD作答.

【详解】向量，，

对于A，由，有，则与的夹角不是钝角，故A错误；

对于B，，，即与不垂直，故B错误；

对于CD，在上的投影的数量为，故C正确，D错误.

故选：C

15．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.

【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．

对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，

易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．

故选：D

16．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得.

【详解】依题意，作出图形，

因为点是的重心，所以是的中点，故，

由已知得，

因为，所以，

又因为点是的重心，所以，则，

又因为，所以，则，

又由余弦定理得，所以，整理得，

因为，令，则，

所以，

则.

故选：D.

.

三、解答题

17．已知复数，且为纯虚数.

(1)求实数的值；

(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得的共轭复数，代入中，化简求得对应的实部与虚部，再由纯虚数的定义即可求得实数的值；

（2）将代入中化简，求得复数的标准形式，及对应的点，再由第二象限点的特点，即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为，

，

又为纯虚数，

，

解得.

（2），

因为复数所对应的点在第二象限，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

18．已知向量，向量．

(1)若向量，求向量的坐标；

(2)若向量在向量上的投影向量的坐标为，求向量的夹角大小．

【答案】(1)或

(2)．

【分析】（1）根据向量平行的规则求解；

（2）根据投影的定义求解.

【详解】（1）设，所以，因为，所以，

解得或，所以或.

（2）设向量的夹角为，

根据投影的定义知：在的投影向量为：，即，

，，

向量的夹角大小为.

19．空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.

(1)求；

(2)求证：EH，FG，BD三线共点．

【答案】(1)AH∶HD＝3∶1.

(2)证明见解析

【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面ACD，再由可得答案：

（2）先证明四边形EFGH为梯形，设，则根据平面的性质可得答案．

【详解】（1）∵，，

又平面ACD，平面ACD，平面ACD，

∵平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，，

又，，

∴，即：

（2）∵，且，，

∴，∴四边形EFGH为梯形，

设，则，而平面ABD，，平面BCD，

平面平面BCD＝BD，∴，∴EH，FG，BD三线共点．

20．如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.

(1)求异面直线PC与AD所成角的大小

(2)证明：平面；

(3)求与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）通过做平行线将异面直线的角转化成求，利用勾股定理和余弦定理即可求出异面直线PC与AD所成角的大小；

（2）通过证明，即可证明结论；

（3）通过找出二面角，求出其正弦值，进而求出与平面所成角的余弦值.

【详解】（1）由题意，

在四棱锥中，，，

面，面，

∴，

∵，，，

作且，则即为异面直线PC与AD所成角

，，

由几何知识得，，

在中，由勾股定理得，

，

在中，由余弦定理得，

，

解得：，

∴，

，

∴直线PC与AD所成角的大小为.

（2）由题意及（1）得，

在四棱锥中，

在中，由勾股定理得，，

在中，由勾股定理得， ，

在中，由勾股定理得，，

在中，由勾股定理得，，

∴，

∵，平面，

∴平面.

（3）由题意及（1）（2）得，

作，垂足为H，连接，

因为平面， 平面，

∴，

∵且平面，

∴平面，

∴为与平面所成的角，

在中，，

，

∴直线与平面所成角的余弦值为：.

21．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

(1)求灯柱的高（用表示）；

(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式；

(3)求出的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式；

（2）根据正弦定理得到，即.

（3）根据计算得到的最小值.

【详解】（1）由题知，，，

在中，

则，

在中，

则.

所以.

（2）由题意，而，

则，

所以，

结合（1）知：.

（3）由（2）知，

又，

所以，当，时，.