2022-2023学年上海市嘉定区中光高级中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市嘉定区中光高级中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．若，且，则      （填数学符号）

【答案】

【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案.

【详解】由且，即.

故答案为：

2．已知角的终边经过点，则        .

【答案】

【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.

【详解】由题得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

3．已知复数，则    ．

【答案】1－i

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】由（1+i）z=2，得，

故答案为1﹣i．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．

4．函数的最小正周期为       .

【答案】

【分析】根据正切型函数的最小正周期的公式，即可求解.

【详解】由函数，根据正切型函数的性质，函数的最小正周期为.

故答案为：.

5．已知是的边上的中线，若，则       .（用表示）

【答案】

【分析】根据向量加法的几何意义，结合向量对应线段的位置关系用表示出.

【详解】由题意知：.

故答案为：

6．已知是方程的一个根，则实数的值为      .

【答案】5

【分析】将方程的根代入方程求解即可.

【详解】由题意知，，

整理得： ，解得，

故答案为：5.

7．若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为         

【答案】

【分析】由题意可得，且与不共线，从而可求出的取值范围

【详解】因为向量，，且与的夹角为锐角，

所以，且与不共线，

由，得，解得，

若与共线，则，得，所以当时，与不共线，

综上，且，

即的取值范围为，

故答案为：

8．在正方体中，M为棱的中点，则异面直线AM与所成的角的大小为        （结果用反三角函数值表示）.

【答案】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．

【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，

则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），

（0，1，2），（﹣2，0，2），

设异面直线AM与B1C所成的角为θ，

cosθ．

∴θ．

∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．

故答案为：．

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

9．若平面向量满足条件：，，则向量在向量的方向上的投影向量为        .

【答案】

【分析】根据投影向量的计算公式直接计算即可.

【详解】向量在向量的方向上的投影向量为.

故答案为:.

10．函数(A＞0，，)的部分图象如图所示，则函数的解析式为       ．

【答案】f(x)＝2sin(2x－)

【分析】根据图像的最大值求得的值，根据四分之三周期求得的值，根据点求得的值.

【详解】根据函数图像可知，函数最大值为，故.根据图像可知，，所以，将点代入函数解析式得，解得.故

【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像上的条件，求三角函数的解析式，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.

11．在棱长为4的正方体中，点到平面的距离为        .

【答案】/

【分析】根据，应用棱锥的体积公式列方程求点面距即可.

【详解】由，若到平面的距离为，

由正方体性质知：为边长为的等边三角形，故，

所以，则.

故答案为：

12．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数，所有正确结论的编号为        ．

【答案】②④

【详解】∵T＝π，∴ω＝2．

又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋．

∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．

由图象及性质可知②④正确．

二、单选题

13．已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据线面垂直的判定定理以及定义即可判断．

【详解】当时，，所以且；

当且，，但，是否相交无法判断，所以可能成立，也可能不成立．综上，“”是“且”的充分不必要条件．

故选：A．

14．要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】根据平移前后解析式判断图象平移过程即可.

【详解】将向右平移个单位，则，其它平移过程都不满足.

故选：D

15．下列命题正确的是（    ）

A．若直线∥平面，直线∥平面，则∥

B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥

C．若直线平面，直线平面，则∥

D．直线与平面所成角的取值范围是

【答案】C

【分析】根据直线与平面的位置关系，结合平面的基本性质、线面垂直的性质判断A、B、C；由线面角的定义判断角的范围判断D.

【详解】A：两直线同时平行于同一平面时，两直线可能平行、异面或相交，错；

B：直线上有两点到一个平面的距离相等，直线可能与平面平行、相交或直线在平面内，错；

C：两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质知：两直线平行，对；

D：直线与平面所成角的范围为，错.

故选：C

16．设单位向量和既不平行也不垂直，对非零向量，，有结论：① 若，则；② 若，则；关于以上两个结论，正确的判断是

A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立

C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立

【答案】C

【分析】根据可得，从而可得，而根据推不出，故可得正确的选项.

【详解】因为，，

所以，，故，

所以，若同时为零，则，，

因为非零向量，都是非零向量，故，共线，

若至少有一个不为零，不妨设，则，故，共线，故①成立.

又

，

取，则即不垂直，故②不成立.

故选：C.

【点睛】本题考查向量垂直与平行的判断，前者考虑数量积是否为零，后者可用向量共线定理来判断，解题中注意对参数的取值合理分类讨论，此类问题属于基础题.

三、解答题

17．设复数，其中i为虚数单位，．

(1)若，求的模；

(2)若是纯虚数，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用复数乘法化简复数，进而求模长；

（2）应用复数乘法化简，根据纯虚数定义列方程求参数即可.

【详解】（1）由题设，则，

所以的模为.

（2）由题意，为纯虚数，

所以，解得.

18．已知．

(1)求与夹角的余弦值；

(2)若，求实数λ的值．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）先求出，，，然后利用夹角公式进行求解即可；

（2）利用向量的垂直公式进行求解即可

【详解】（1）因为，

所以，，，

设与的夹角为，

所以

（2）因为，

又，

所以，解得

19．如图所示，甲船在距离港口24海里，并在南偏西20°方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东40°方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．

（1）求的大小；

（2）当乙船行驶20海里到达处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？

【答案】（1）；（2）21海里．

【分析】（1）由正弦定理可得结果；

（2）由余弦定理可得结果.

【详解】（1）根据题意知，，，，

在中，由正弦定理得，，解得，

由，知为锐角，所以．

（2）由（1）得，

在中，由余弦定理得，（海里），

所以，此时甲、乙两船之闻的距离为21海里．

20．如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，设，，且PA⊥平面ABCD，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求EC与底面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(3)求到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）只要证明平行于平面内直线即可；

（2）转化为解直角三角形问题即可；

（3）利用等体积法可求到平面的距离．

【详解】（1）证明：连接，交于，连接，

因为是矩形，所以是中点，是的中点，

所以，因为平面，平面，

所以平面．

（2）取中点，连接，

因为是中点，所以，，

因为平面，所以平面，

，，

所以与平面所成角的正弦值为，

所以与底面所成角的大小为．

（3）设到平面的距离为,

由，

得,

所以,解得．

所以到平面的距离为.

21．已知函数

(1)求函数的周期；

(2)若函数，求函数在区间上的值域；

(3)若恒成立，试求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解；

（2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解；

（3）将恒成立，转化为求解.

【详解】（1）由诱导公式，，

，

∴的周期．

（2）由（1），知，

，

，

由，则，

故，则.

故在区间上的值域为.

（3）∵，

，

，

∴当时，，

∵恒成立，

等价于，

∴，即，

解得，

∴实数的取值范围为．