2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学高一下学期5月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学高一下学期5月月考数学试题 一、单选题1．已知向量，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据向量平行的坐标表示求得，再根据向量的加法法则即可得解.【详解】，所以，.故选：A.2．命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.故选：D．3．已知，，和的夹角为，则（    ）A．12 B．3C．6 D．3【答案】C【分析】利用两个向量的数量积的定义可得，把代入求得的值．【详解】由题意利用两个向量的数量积的定义可得，解得，故选：C．4．“”是“”成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件结合任意角的三角函数值分析判断.【详解】若，则；若，不一定有，例如，则；综上所述：“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.5．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除BD，再根据的符号可排除A，即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故排除BD；又，故排除A.故选：C.6．设，，，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用两角和差正余弦公式、二倍角公式和诱导公式化简可得，，，由正弦函数单调性可得结果.【详解】；；；，.故选：D.7．半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是A．2 B．0 C． D．【答案】D【详解】为的中点，，从而则，又，，当且仅当，即为的中点时，取得最小值是，故选D.【易错点晴】本题主要考查平面向量的几何运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.8．已知函数（且），则的所有零点之和为（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】将的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，因此可作出二者的图象，则问题可解.【详解】因为，所以由，得，因为函数与的图象都关于直线对称，且与的图象在和时，各有2个交点，如图示：所以（且）的所有零点之和为,故选：C． 二、多选题9．下列能化简为的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据向量的线性运算分别判断即可．【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D不合题意；故选：ABC．10．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减C．不是函数图象的对称轴 D．的图象关于点对称【答案】ACD【分析】根据函数图象的平移变换得出的图象，再利用的性质结合周期公式逆推即可求解.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.对于A，的周期为，故A正确；对于B，由，得，从而即时，单调递减，故B不正确；对于C，，所以不是函数图象的对称轴，故C正确；对于D，，所以的图象关于点对称，故D正确.故选：ACD.11．以下结论正确的是（    ）A．函数的最小值是2 B．若a，且，则C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0【答案】BD【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，由基本不等式知当，则，故B正确，对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误，对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确，故选：BD12．已知函数，则（    ）A．， B．，C．函数有1个零点 D．方程有5个根【答案】ABD【分析】利用正弦函数的周期性可判断A；利用正弦函数的值域及指数函数的值域可判断BC；作出函数的图像可判断D.【详解】对于A，当时，是周期为的周期函数，故A正确；对于B，当时，，时，，故B正确；对于C，，，所以没有零点，故C错误；对于D，直线过点，作出函数的图像，的图象与的图象有5个交点，所以D正确．故选：ABD． 三、填空题13．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积      ．【答案】6【分析】由扇形的弧长公式、面积公式可得答案.【详解】因为扇形的弧长为，所以．故答案为：6．14．如图所示，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上靠近点C的四等分点，点G为AE上靠近点A的三等分点，则向量用与表示为                【答案】【分析】根据平面向量的基本定理结合线性运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故答案为：.15．水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械.根据文献记载，水车大约出现于东汉时期.水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证.图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m.如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律.  则            .【答案】【分析】根据题意结合正弦函数的性质运算求解.【详解】由题意可知：点P距水面的高度h的最大值为3，最小值为，则，解得；又因为，即，且，可得；又因为旋转一周用时秒，即的最小正周期为，且，可得，所以.故答案为：. 四、双空题16．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为         ，若是线段上的动点，且，则的最小值为         ．【答案】          【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 五、解答题17．已知向量满足，.(1)若，求实数x的值；(2)求的最小值，及此时x值.【答案】(1)(2)最小值为1时，  【分析】（1）根据向量垂直关系结合数量积的运算律求解；（2）根据模长结合数量积的运算律可得，结合二次函数分析求解.【详解】（1）因为，则，由题意可得，解得.（2）因为,当时，取到最小值1，即当时，取到最小值1.18．已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，求的单调递增区间．【答案】（1）（2）【解析】（1）由图象得出周期，进而得出，再由，得出的值，即可得出的解析式；（2）利用平移变换以及伸缩变换得出的解析式，结合正弦函数的单调增区间，解不等式，即可得出的单调递增区间．【详解】（1）由图像可知，，则，则，即，，，解得（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象即由，解得即的单调递增区间为【点睛】本题主要考查了由图象求正弦型函数的解析式以及正弦函数图象的变换求解析式，求正弦型函数的单调性，属于中档题.19．某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.  (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?【答案】(1)(2)至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室 【分析】（1）时，设，根据图象列式求解，从而得函数解析式；（2）解不等式，，可得结论．【详解】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为，可得，解得所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.（2）当，令，则，整理得，则，解得，所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室.20．已知函数.(1)求函数的最大值及对称中心；(2)若x＝为函数的一个零点，求cos2的值.【答案】(1)，()(2)+ 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）结合正弦函数的性质及两角和的余弦公式即可求解．【详解】（1），，由，得，所以函数的对称中心为（2）由（1）及题意得，又因为，所以，又，则,,故．21．已知向量，向量.求：(1)及 ；(2)的最小值为，求t的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算结合三角恒等变换运算求解；（2）由（1）整理得，换元令，原题意等价于在上的最小值为，分类讨论，结合二次函数最值运算求解.【详解】（1）由题意可得：，，所以，又因为，则，可得，所以；.（2）由（1）可得：，因为，令，原题意等价于在上的最小值为，注意到函数开口向上，对称轴为，则有：若，则在上单调递减，可得当时，函数取到最小值，解得，不合题意，舍去；若，则在上单调递减，在上单调递增，可得当时，函数取到最小值，解得或（舍去）；若，则在上单调递增，可得当时，函数取到最小值，不合题意，舍去；综上所述：t的值为.22．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；(3)若函数，讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【分析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.【详解】（1）函数，由，可得，即的定义域为；不等式，所以，即为，解得，则原不等式的解为；（2）函数，若存在，使得成立，则和在上的值域的交集不为空集；由（1）可知：时，显然单调递减，所以其值域为；若，则在上单调递减，所以的值域为，此时只需，即，所以；若，则在递增，可得的值域为，此时与的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数的范围是；（3）由，得，令，则，画出的图象，当，只有一个，对应3个零点，当时，，此时，由，得在，三个分别对应一个零点，共3个，在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当时，只有1个零点，当或时，有3个零点，当时，有5个零点.【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.