2022-2023学年贵州省凯里实验高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年贵州省凯里实验高级中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用交集、补集的定义直接求解作答.

【详解】集合，则，而，

所以.

故选：D

2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意，.

故选：D.

3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为4，则圆锥的侧面积是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.

【详解】  

如图，由题意知为等腰直角三角形，则，

则底面圆的半径，

故圆锥的侧面积为.

故选：A.

4．已知函数，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算作答.

【详解】函数，则，

所以.

故选：C

5．设，且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.

【详解】因为，且，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

故选：B.

6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数与对数函数的单调性与1，2比较大小即可得出答案．

【详解】因为，

，，

所以.

故选：A.

7．已知函数的定义域是R，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.

【详解】依题意，，不等式恒成立，

当时，恒成立，则，

当时，有，解得，则，因此

所以的取值范围是.

故选：C

8．在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，将该三棱锥置于一个长方体中，则体对角线即为外接球得直径，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.

【详解】由题意，在三棱锥中，平面，

故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示，

则体对角线即为外接球得直径，

，

故外接球的半径，

所以三棱锥的外接球的表面积为.

故选：B.

二、多选题

9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为 B．的模为

C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】BD

【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据虚部的定义，复数的模的计算公式，共轭复数的定义及复数的几何意义逐一判断即可.

【详解】由，

得，

则的虚部为，故A错误；

的模为，故B正确；

的共轭复数为，故C错误；

在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确.

故选：BD.

10．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】BD

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.

【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；

对B：若，，则，故选项B正确；

对C：若，，则或与相交，故选项C正确；

对D：若，，，则，故选项D正确.

故选：BD.

11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心

【答案】ACD

【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.

【详解】由图知：，即，而，可得，A正确；

且，可得，B错误；

为对称轴，C正确；

由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确；

故选：ACD

12．（多选题）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图像恰好经过个整点，则称函数为n阶整点函数.下列函数是一阶整点函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据函数的新定义分别判断各个选项即可.

【详解】根据题中所给的函数的性质，

对于函数，它的图像只经过一个整点，所以它是一阶整点函数；

对于函数，它的图像上横坐标为整数的点的纵坐标都是整数，经过整点，所以它不是一阶整点函数；

对于函数，它的图像上横坐标为零或负正整数的点的纵坐标都是整数，故整点很多，经过整点，所以它不是一阶整点函数；

对于函数，它的图像只经过一个整点，所以它是一阶整点函数.

故选：AD.

三、填空题

13．在中，若，则的值为           ．

【答案】

【分析】利用正弦定理运算即可得解.

【详解】因为，

所以由正弦定理，得，解得，

因为，则，所以.

故答案为：.

14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案.

【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，故.

故答案为：.

15．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为5，圆台的侧面积为，则圆台的体积为        ．

【答案】

【分析】利用圆台的侧面积公式计算求得较小底面的半径，再利用圆台的体积公式即可得解.

【详解】依题意，设圆台较小底面的半径为，较大底面的半径为，

则，故，

因为圆台的侧面积为，母线长为，

所以，解得，则，

所以圆台较小的底面面积为，较大的底面面积为，圆台的高，

所以圆台的体积.

故答案为：.

16．如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：

①当为棱的中点时，平面；

②存在点，使得；

③三棱锥的体积为定值；

④三棱锥的外接球表面积为．

其中正确的结论序号为      ．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④

【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.

【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，

因为分别为的中点，

故可得//，，

根据已知条件可知：//，

故//，

故四边形为平行四边形，则//，又平面平面，

故//面，故①正确；

对②：因为平面平面，

故，

又四边形为矩形，

故，则两两垂直，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：

则，设，，

若GH⊥AE，则，

即，解得，不满足题意，故②错误；

对③：，因为均为定点，故为定值，

又//平面平面，

故//面，

又点在上运动，故点到平面的距离是定值，

故三棱锥的体积为定值，则③正确；

对④：由题可得平面，又面为正方形，

∴，

∴AB⊥平面BCF，则AB，BC，CF两两垂直，

∴AF为三棱锥的外接球的直径，

又，

∴三棱锥的外接球表面积为，故④正确.

故答案为：①③④.

四、解答题

17．已知复数，，其中为虚数单位．

(1)若是实数，求的值；

(2)当时，求复数的值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）依题意，令的虚部为0即可得解；

（2）利用复数的四则运算即可得解.

【详解】（1）因为，是实数，

所以，解得或，

经检验，或，都满足要求，

故或.

（2）当时，，

所以.

18．（1）化简：；

（2）已知，且，求的值．

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）（2）利用三角函数的诱导公式与基本关系式化简求值即可.

【详解】（1）

.

（2）因为，所以，

又，所以，

所以.

19．已知，，且．

(1)求与的夹角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用数量积的运算律和定义可求得，进而得到；

（2）由数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.

【详解】（1），

，又，.

（2），.

20．如图，在正方体中，．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求直线和平面所成的角．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；

（3）由（2）可得即为所求的角，再解三角形即可得解.

【详解】（1）因为在正方体中，可知，

而平面，平面，所以平面.

（2）因为在正方体中，易知平面，

又平面，所以，

又因为、是正方形的对角形，因此，

又，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（3）设与的交点为，连接，如图，

因为平面，

所以是直线和平面所成的角的平面角,

因为平面，所以，即，

因为正方体棱长为1，可得，

所以，则，

因此直线和平面所成的角为.

21．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)若a =4，求面积的最大值及周长的取值范围．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式，化简即可求解.

（2）由余弦定理结合均值不等式求出最大值即可求出面积最大值，求出B的范围，由正弦定理结合三角恒等变换化简，求正弦型三角函数的值域作答.

【详解】（1）在锐角中，由正弦定理及，

得，

而，，则，

所以.

（2）由（1）知，由余弦定理，得，

当且仅当时取等号，的面积，

所以当，即为正三角形时，面积取得最大值；

显然，由为锐角三角形，得，即，

由正弦定理得：，

因此的周长为

，

显然，，，

所以周长的取值范围是.

22．定义在上的偶函数，当时，．

(1)求函数在上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；

(2)写出函数的值域和单调区间；

(3)若有四个零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，图象见解析

(2)值域为，单调减区间为，单调增区间为

(3)

【分析】（1）令，则，代入已知函数解析式，结合函数的奇偶性即可得解，再根据二次函数的图象作出函数图象即可；

（2）根据函数图象写出值域和单调区间即可；

（3）有四个零点，即函数两个函数的图象有四个交点，根据函数图象即可得解.

【详解】（1）因为定义在上的偶函数，当时，，

则，

令，则，

则，

所以，

作出函数图象，如图所示：

（2）由图可知，函数的值域为，

单调减区间为，单调增区间为；

（3）令，则，

若有四个零点，

则函数两个函数的图象有四个交点，

由图可知.