2022-2023学年福建省连城县第一中学高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年福建省连城县第一中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．下列说法错误的是（        ）

A．

B．、是单位向量，则

C．若，则

D．任一非零向量都可以平行移动

【答案】C

【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.

【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；

对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；

对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；

对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.

故选：C.

2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】C

【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.

【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，

所以，，，，故ABD错误，C正确.

故选：C.

3．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】D

【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可.

【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；

题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；

因为分别是的单位向量，所以，

故选：D

4．已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，，D正确，得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，错误；

对选项C：，错误；

对选项D：，正确.

故选：D

5．若的三个内角、、满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】因为，由余弦定理可得，

所以，为锐角，故.

故选：C.

6．已知向量，则实数（    ）

A． B．0 C．1 D．或1

【答案】D

【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.

【详解】由已知向量，

可得，

由可得，

即，解得，

故选：D

7．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m

【答案】D

【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.

【详解】，

由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，

在Rt△ABM中，AM＝＝，

在△ACM中，由正弦定理得＝，

所以CM＝＝，

在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.

故选：D.

8．在中，，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由余弦定理可得表达式，结合可得答案.

【详解】，因为，所以.

又，所以的范围是.

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．向量在向量上的投影向量可表示为

B．若，则与的夹角θ的范围是

C．若是等边三角形，则，的夹角为

D．若，则

【答案】AB

【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C，根据数量积的计算公式即可判断D.

【详解】对于选项A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；

对于选项B，因为，所以，

又，所以，故B正确；

对于选项C，若是等边三角形，则，的夹角为，故C错误；

对于选项D，因为，所以或或，故D错误．

故选：AB.

10．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）

A．，有唯一解

B．，无解

C．，有两解

D．，有唯一解

【答案】AD

【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.

【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；

选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；

选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；

选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.

故选：AD.

11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则点M在直线BC上

B．若＝＋，则点M是三角形的重心

C．若，则点M在边BC的中线上

D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

【答案】ABD

【分析】对选项A，根据题意得到，从而得到三点共线，即可判断A正确，对选项B，设为的中点，根据条件得到，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到在的平分线上，即可判断C错误，对选项D，设，根据题意得到三点共线，即可判断D正确.

【详解】对选项A，，所以，即.

所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上，

故A正确.

对选项B，设为的中点，所以，

所以点是的重心，故B正确.

对选项C，因为，则在的平分线上，

不一定在的中线上，故C错误.

对选项D，因为，且，

所以，且，

设，则，且，

即三点共线.

又因为，所以为的中点，如图所示：

所以，故D正确.

故选：ABD

12．已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则周长的最大值为

D．若，则面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确.

【详解】，

，解得：，

由得：，

，

，解得：（舍）或，

，，A正确；

，，，即，

为等边三角形，，B错误；

，，

在中，由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），

解得：，周长的最大值为，C正确；

设，则，

，

则当时，取得最大值，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若向量与的方向相反，且，，则点B坐标为      ．

【答案】

【分析】设，根据向量的模求出，得到向量的坐标，再由点A坐标得到点B坐标.

【详解】向量与的方向相反，设，，

则，解得，，

由，有，所以点B坐标为.

故答案为：

14．在河水的流速大小为情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为          .

【答案】

【分析】根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.

【详解】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，

则，所以，

所以，即小船在静水中的速度大小为.

故答案为：.

15．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且＝2，则·＝        .

【答案】

【分析】利用向量三角形法则将转化为即可求解.

【详解】由题意知，，且.

又由知，，

所以

故答案为：.

四、双空题

16．在中，角，B，C所对的边分别为a，b，C，，则的外接圆直径为      ；若点P在边BC上，且，O为的外心，则OP的长为      ．

【答案】         

【分析】根据已知条件，运用正弦定理将边化角，可推得，再结合外接圆的公式和余弦定理，即可求解．

【详解】解：因为，所以，

因为，所以，即，因为，

所以，所以，即的外接圆直径为；

所以，

，

，

，

，，

，

在中，根据余弦定理可得，，

即，解得．

故答案为：；；

五、解答题

17．已知向量，．

（1）求的坐标以及与之间的夹角；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）本题首先可根据向量的坐标运算求出，然后根据即可得出结果；

（2）本题可通过对进行平方即可得出结果.

【详解】（1）因为，，所以，

设与之间的夹角为，

则，

因为，所以与之间的夹角为.

（2），

因为，所以，

故的取值范围是.

18．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件及余弦定理即可求解；

（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用大边对大角及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式即可求解.

【详解】（1）因为，且，

所以，

所以.

（2）由（1）知，，

因为，且，

所以.

因为，所以为锐角，

所以，

故.

19．在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设，．

(1)试用，表示；

(2)在边上有点，使得，求证：三点共线．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

（2）利用向量的线性运算及共线向量基本定理即可求解.

【详解】（1）设，由题意，

所以，①，

设，由，，②，

由①、②得，，

所以，解得，

所以；

（2）由，得，

所以，

所以，

因为与有公共点B，

所以B，P，F三点共线．

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理

由可得：，不妨设，

则：，即.

若选择条件①：

据此可得：，，此时.

若选择条件②：

据此可得：，

则：，此时：，则：.

若选择条件③：

可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

［方法二］：正弦定理

由，得．

由，得，即，

得．由于，得．所以．

若选择条件①：

由，得，得．

解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．

若选择条件②：

由，得，解得，则．

由，得，得．

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．

若选择条件③：

由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．

【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．

21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角A；

(2)若的面积为，D为BC边上一点，且BD=2CD，求AD的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换可得到，从而可得出答案；

（2）由已知结合三角形的面积公式可求得，根据向量的线性表示及向量的数量积的性质和基本不等式即可求解．

【详解】（1）由正弦定理得，

又，则，

化简得，

又，则，

所以，所以；

（2）由（1）得，则，得，

又BD=2CD，则，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为．

22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．

（1）当cos＝时，求小路AC的长度；

（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．

（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值．

【详解】（1）在中，由，

得，又，∴．

∵   ∴

由得：，解得：，

∵是以为直角顶点的等腰直角三角形  ∴且

∴

在中， ，

解得：

（2）由（1）得：，

，此时，，且

当时，四边形的面积最大，即，此时，

∴，即

答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．