2022-2023学年福建省仙游县华侨中学高一下学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省仙游县华侨中学高一下学期第一次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省仙游县华侨中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知是夹角为的单位向量,则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积公式求解即可.【详解】由题意得,是夹角为,则.故选:D.2．已知向量，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量坐标运算法则直接求解即可.【详解】解：，，..故选：C.3．把的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的2倍所得到的函数y＝g(x)的解析式为（    ）A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的图象变换即可求解.【详解】解：把的图象向左平移个单位，可得函数，然后再把所有的点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝cosx，故选：B.4．（，），则（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根据两角和的正切公式变形转换，从而可求解结果.【详解】因为，所以.所以.所以.故选：A.5．若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果.【详解】∵∥，∴，即，在上的投影向量为：，故选:A6．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ）A．若，则O是的外心B．若，则I是的内心C．若，则P是的垂心D．若，则N是的重心【答案】B【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，即到的距离相等，根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；对于选项B：若，则，即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；对于选项C：若，则，即，同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；对于选项D：若，则（D为AB的中点），即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；故选：B.7．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据共线向量定理可得，然后利用三角函数变换及同角关系式即得.【详解】设，与是共线向量，所以存在唯一实数使得，所以，所以，解得，则.故选：B.8．函数，若，则的最小值是（    ）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】由题得,进而可知在,处取到最大值和最小值,根据三角函数的性质可得，进而即得.【详解】因为，又，所以在,处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值,则,即，处取到最小值,则,即，所以,,，所以当时，的最小值为.故选：C. 二、多选题9．设向量，其中正确的有（    ）A． B． C．  D．与的夹角为【答案】AD【分析】根据数量积的坐标运算，即可判断各选项的正误.【详解】A选项：，，故，A正确；B选项：，，故B错误；C选项：，因，故C错误；D选项：，所以与的夹角为，D正确.故选：AD10．下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C；利用两角差的正切公式即可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.11．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C．若与共线，则为或D．存在，使得【答案】AB【分析】根据得到，即可得到，即可判断A选项；根据投影向量得到，即可得到，即可判断B选项；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标，即可判断C选项；假设成立，可得到，与矛盾，即可判断D选项.【详解】对于A，若，则有，即，A正确；对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，∴，B正确；对于C，若与共线，设，所以有，解得，因为，，∴，所以，C不正确；对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有，则，与矛盾，故D不正确．故选：AB.12．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ）A．当为线段上的中点时，B．的最大值为C．的取值范围为D．的取值范围为【答案】ABC【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，则，设，则，因为，所以，所以，即，对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.故选：ABC. 三、填空题13．，，则      .【答案】【分析】根据题意，利用向量的坐标运算求得，代入即可求解.【详解】因为，可得，， 则.故答案为：.14．已知，，则的值为        .【答案】－.【分析】将和分别平方计算可得.【详解】∵，∴，∴，∴，又∵，∴ ，∴,故答案为：－.【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式的应用，属于简单题.15．在中，若为的交点，满足，则的值为          ．【答案】【分析】利用平面向量三点共线性质可得，，从而求得，进而得到，由此得解.【详解】依题意，得三点共线，所以，同理：由三点共线得到，所以，解得，所以，又，所以，，故．故答案为：． 四、双空题16．已知向量，向量与向量的夹角为，，则向量          ；若向量与向量的夹角为，向量，其中，当时，实数a的取值范围为          ．【答案】     或     【分析】设出，根据向量数量积公式和夹角公式列出方程组，求出，再根据与夹角的，求出，利用向量线性运算法则和模长公式，结合三角函数恒等变换求出，利用模长取值范围和，得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】设，则，，∴或，∴或，与夹角的，则∴∴因为，所以，，∵，∴，∴，∴，故实数a的取值范围是． 五、解答题17．已知向量，满足，且，.(1)求与的夹角；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量数量积求与的夹角；（2）利用向量数量积求向量的模.【详解】（1），，与的夹角为，，，由，得.（2）.18．已知中，点D在线段OB上，且，延长BA到C.使.设，.  (1)用，表示向量；(2)若向量与共线，求k的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用中点的性质与向量的线性运算法则求解即可；（2）根据（1）的结论，可得关于向量的表示式，结合向量共线的充要条件建立关于k的方程组，解之即可得到实数k的值．【详解】（1）∵A为BC的中点，∴，可得；（2），得，∵与共线，设，即，根据平面向量基本定理，得，解得.19．已知向量. (1)若，求的值；(2)若向量，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】(1) 由可得，利用数量积的坐标运算列方程求解；(2)由可得，将变形为，代入计算可得结果.【详解】(1)由可得，即，则；(2)由题意可得  即，∴，.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题.20．已知向量，，函数．(1)求函数图象的对称轴；(2)若在上有解，求整数m的最小值．【答案】(1)对称轴为，；(2)1. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算及辅助角公式可得，再结合三角函数性质即得；（2）利用三角函数图象和性质结合条件可得，即得.【详解】（1），令，，可得，，所以图象的对称轴为，；（2）由（1）可知，，由，则，，当即时，，∴，又在上有解，∴，即，∴整数m的最小值为1.21．已知函数（，），是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为.(1)求函数的解析式；(2)已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】(1)(2)存在定值，3 【分析】（1）首先由条件，确定四边形的图形，根据面积的最小值求周期，根据五点法中的一个点求，即可求解函数的解析式；（2）利用线性关系表示，再结合三点共线，即可求解.【详解】（1）因为M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，因为，故四边形PMTN是平行四边形，借助图象可知，平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，平行四边形PMTN的面积，解得，故，解得，因为是函数图象上的一点，所以，所以，，解得，，因为，所以，所以；    （2）存在定值3，使得，理由如下：因为因为H，Q，K三点共线，所以，即.22．已知，函数，.（1）若在上单调递增，求正数的最大值；（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案.【详解】解：（1）由，得，.因为在上单调递增，令，得时单调递增，所以解得，可得正数的最大值为.（2），设，当时，.它的图形如图所示.又，则，，令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.①当0为的零点时，显然不成立；②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以解得.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.