2022-2023学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高一下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高一下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知复数为纯虚数，则实数m的值为（    ）

A． B．1 C．1或 D．或0

【答案】B

【分析】根据纯虚数的定义求解.

【详解】因为z是纯虚数，所以，解得．

故选：B．

2．下列结论错误的是（    ）

A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体

C．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体

【答案】C

【分析】直接利用圆柱，直棱柱，圆台，圆锥的定义判断ABCD的结论．

【详解】对于A：由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱，可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确；

对于B：长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确；

对于C：用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；

对于D：四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故D正确．

故选：C

3．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量加减法和数量积的坐标表示和运算求解即可.

【详解】因为向量，，，

所以，即，则.

故选:B.

4．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（    ）

A．直线与平面内的所有直线平行

B．直线与平面内的无数条直线平行

C．直线与平面没有公共点

D．直线与平面内的一条直线平行

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.

【详解】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；

对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；

对C，能推出与平行；

对D，当直线在平面内时，与不平行.

故选：C.

5．若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

.

故选：D.

6．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

【答案】D

【分析】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案.

【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，

，分别是，的中点，故，且，

，故，，故四点共面，

故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．

故选：D．

7．某车间生产一种圆锥型高脚杯，杯口直径为，高为R，将该高脚杯装满水（水面与杯口齐平），现将一直径为的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入（整个铁球在水面以下）水中并静止后，从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出圆锥型高脚杯的体积、小铁球的体积，由从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的可得答案.

【详解】由题可得圆锥型高脚杯的体积，

小铁球的体积为，由题可得，即.

故选：B.

8．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．2

【答案】C

【分析】建系求出点的坐标，应用数量积的坐标运算即可.

【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，则，，，

∵是的中点，∴，∵是线段的中点，∴，

∴，，，∴，

∴.

故选：C.

二、多选题

9．已知a，b，c是3条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（    ）

A．若，，则

B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直

C．若，，，则a与b一定是异面直线

D．若a，b与所成的角均为，则

【答案】BC

【分析】由基本事实4判断A；由直线与直线的位置关系判断B；由面面平行的性质判断C；由线面垂直的性质判断D．

【详解】对于A，若，，则，所以A正确；

对于B，若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面，所以B错误；

对于C，若，，，则a与b可能异面，也可能平行，所以C错误；

对于D，若a，b与所成的角均为，则，，可得，所以D正确．

故选：BC．

10．下列说法正确的是（    ）

A．复数的虚部为

B．方程的复数根为

C．若，则复平面内对应的点位于第二象限

D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

【答案】BD

【分析】化简即可判断A项；根据韦达定理，即可得出B项；化简得出，求出共轭复数，根据复数的几何意义，即可判断C项；根据复数的几何意义，即可得出D项.

【详解】对于A，，虚部为3，A错误；

对于B，，，B正确；

对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；

对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.

故选：BD.

11．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ）

A． B．的取值范围是

C． D．的取值范围是

【答案】ABD

【分析】由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得，可判断AC；再由锐角三角形的定义可判断B；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断D．

【详解】因为，

由正弦定理可得，

即，

即有，

因为为锐角三角形，

，

所以，即，故正确，C错误；

由，，且，

解得，故B正确；

而，故D正确．

故选：ABD．

12．如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（    ）

A． B．平面

C．二面角的大小为定值 D．的最小值为

【答案】CD

【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C，由二面角的定义即可判断；对于D，将侧面和展开在一个平面内，结合余弦定理即可得出.

【详解】对于A，平面，平面，，假设，

又平面PAD，平面，

又平面，，而四边形为正方形，与矛盾，

所以假设错误，故不正确，故A不正确；

对于B，设，连接，假设平面，

又平面平面，则，

在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾，

所以假设错误，故B不正确；

对于C，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小，

因为二面角的大小为定值，所以二面角的大小为定值，

故C正确；

对于D，平面，平面，，为等腰直角三角形，

平面，平面，，即，

又四边形为正方形，，

平面PAD，平面，平面，，为直角三角形，

如图，将侧面和展开在一个平面内，，

连接，当处在与的交点处时，取得最小值，

此时，在中，由余弦定理，得，

所以的最小值为，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．设复数z满足，则           ．

【答案】

【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可得解.

【详解】由，得，则．

故答案为：.

14．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为    ．

【答案】

【分析】先利用斜二测画法规则画出该直观图对应的原图，进而求得原图形中较长的对角线的长度.

【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，

所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，

点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，

则，，所以，

，，

故原图形较长的对角线长为．

故答案为：

15．如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为，母线长最短，最长，则该斜截圆柱的侧面积为      ．

【答案】

【分析】将两个相同的斜截圆柱拼截在一起构成一个圆柱求解.

【详解】将相同的两个几何体，对接为圆柱，

则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，

则所求侧面积为，

故答案为：.

16．已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为      .

【答案】．

【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，由锐角三角形得出角范围，从而得的范围，由正弦定理得，再化为的三角函数，由的范围得出结论．

【详解】由已知，由正弦定理得，

所以，，则，

是锐角三角形，

所以，，所以，，

所以．

故答案为：．

四、解答题

17．已知复数，，.

(1)若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围；

(2)若虚数是方程的一个根，求实数的值.

【答案】(1)

(2)17

【分析】（1）计算出，根据对应点所在象限列出不等式组，求出实数的取值范围；

（2）根据题意得也是方程的一个根，由两根之和求出，进而得到，计算出的值.

【详解】（1）.

因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以，

解得.因此，实数的取值范围是.

（2）因为虚数是方程的一个根，

所以也是方程的一个根，

于是，解得.

所以，，

因此.

18．已知，．

(1)求；

(2)求证：．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】（1）由平方得，再利用计算即可；

（2）计算，即可证明.

【详解】（1）由，得，

所以，所以，所以．

（2）因为，

所以．

19．已知，，其中，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用半角公式计算出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦差角公式进行计算；

（2）先求出，再利用差角公式计算，结合角的范围求出，得到答案.

【详解】（1）因为，所以，.

因为，所以，

因为，所以，

解得，

所以.

（2）因为，所以，则.

因为，

由，，得，所以.

20．如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

(1)求证：平面平面BEF；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面平面BEF；

（2）先依据线面角定义作出与平面所成角，进而求得其正弦值.

【详解】（1），F分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又F，G分别为，AB的中点，，

又，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，

平面，

又，EF，平面BEF，

平面平面BEF．

（2）在平面ABC内，过点G作，垂足为H，连接．

正三棱柱，

平面ABC．又平面ABC，．

又，BC，平面，平面．

即为与平面所成的角．

正三棱柱的所有棱长为2，G为AB中点，

，，

又，，．

又，，

．

又，

，

，

故与平面所成角的正弦值为．

21．如图，在平面四边形中，，设.

(1)若，求的长度；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意求得，在中，利用余弦定理，即可求得的长；

（2）根据题意求得，得到，在中，利用正弦定理求得，进而求得的值.

【详解】（1）解：由题意得且，

可得，

在中，，

由余弦定理可知：，

所以.

（2）解：因为，所以，

又因为且，可得,

在中，由正弦定理知，

所以，即，

可得，即.

22．如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点.

(1)求证：；

(2)若二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则；

（2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案.

【详解】（1）因为为正三角形,所以,又,所以.

又底面，底面，所以，

又，平面，所以平面，

又因为平面，所以.

（2）因为底面，底面，所以，由已知，

又，且平面，所以 平面，

又平面，所以，又，

所以就是二面角的平面角，所以

因为，则,

在中，因为是正三角形，则易知，

所以在中，，

因为底面,平面,

所以.知,

所以的面积.

因为,所以,

又因为为中点,所以.

设点到平面的距离为,由,得,

解得,即点到平面的距离为,

又,所以三棱锥的体积.