浙江省嘉兴市海盐高级中学2023-2024学年高二数学上学期返校测试试题（Word版附解析）

海盐高级中学高二返校评估测试数学试卷（2023.8）

（考试时间  120分钟    试卷总分 150分）

一、单选题（40分）

1. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的除法运算求解.

【详解】由题意可得：.

故选：B.

2. 已知平面向量，，，若∥，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出的坐标，再由∥，列方程可求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出

【详解】因为，，所以，

因为∥，，

所以，解得，

所以，

所以，

故选：C

3. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（      ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】C

【解析】

【分析】分别从平均成绩最高和方差最小两方面找到最佳人选即可.

【详解】由题中数据可知，甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，

又甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，

所以综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，所以丙是最佳人选，

故选：C.

4. 从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用列举法，列出5条线段中任取3条线段的所有情况，然后找出能构成三角形的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】从5条线段中任取3条，可能的情况有：，，，，，，，，，共有10种可能，

其中，能构成三角形的只有，，共3种可能，

所以能构成三角形的概率为.

故选：A.

5. 如图，若直线的斜率分别为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】解析  设直线的倾斜角分别为，

则由图知，

所以，

即．

故选：A

6. 已知直线过，且，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.

【详解】设直线斜率为，直线斜率为，

因为直线过，，

所以斜率为，

因，所以，

所以，即直线的斜率为.

故选：B.

7. 已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解.

【详解】因为，所以，又，所以

故选：D

8. 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（    ）

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 75°

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求解.

【详解】因为平面，平面，所以，，

又是矩形，所以两两垂直，

故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

又，，，

所以，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

而,

设平面的法向量为，

则，取，则，

，所以30°，

所以锐二面角的大小为30°，

故选：A.

二、多选题（20分）

9. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（    ）

A. 的值不确定

B. 乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍

C. 两组样本数据的极差可能相等

D. 两组样本数据的中位数可能相等

【答案】ABC

【解析】

【分析】由甲组平均数为，则乙组平均数为，解得值，又乙组方差为甲组方差的倍，可判断选项AB，再利用极差与中位数定义判断CD项.

【详解】对选项A，由题意可知，，故A错误；

对选项B，易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的倍，故B错误；

对选项C，不妨设，

则甲组数据的极差为，

乙组数据的极差为，

又已知甲组数据各不相同，

所以两组样本数据的极差不相等，故C错误；

对选项D，设甲组样本数据的中位数为，

则乙组样本数据的中位数为，

当时，，

所以两组样本数据的中位数可能相等，故D正确.

故选：ABC.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同的选法有10种

B. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为

C. 从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，则事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件

D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据排列组合的公式以及相互独立事件乘法公式逐一判断即可．

【详解】A选项，从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同选法有种，故A正确；

B选项，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，

则取到同色球的概率为，故B正确；

C选项，从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3球，有以下情形：3白，1红2白，2红1白，

则事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件，C正确；

D选项，∵，即，

∴，得，

又，∴，故D错误，

故选：ABC．

11. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数为偶函数 B.

C.  D. 函数的图象的对称轴方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解．

【详解】对于A，由已知得，函数为偶函数，故A正确；

对于B，C，可得，故C正确；

对于D，令，，可得，，故D正确.

故选：ACD.

12. 在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）

A. 存在点，使得平面

B. 对于任意点，都有平面平面

C. 异面直线与所成角的余弦值的取值范围是

D. 若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为

【答案】AB

【解析】

【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的判定判断B；求出异面直线夹角的余弦范围判断C；举例说明判断D作答.

【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），

对于A，当点与重合时，由，得，有，

而平面，平面，因此平面，即平面，A正确；

对于B，由平面，平面，得，又，

平面，则平面，

而平面，因此平面平面，B正确；

对于C，由平面，平面，得，因为，

显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，

，C错误；

对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，

平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误.

故选：AB

三、填空题（20分）

13. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .

【答案】

【解析】

【详解】∵平面向量与的夹角为，

∴.

∴

故答案为.

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．

(2) 常用来求向量的模．

14. 若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．

【答案】，

【解析】

【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线斜率公式，解不等式即可得到所求范围．

【详解】因为直线的倾斜角是钝角，

所以斜率，解得．

所以的取值范围是，．

故答案为：，．

15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 ____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，求解角，再根据正弦定理求半径.

【详解】因为，

所以，即，所以，

由为三角形内角得，因为a＝1，

由正弦定理得，所以．

故答案为：

16. 直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于______．

【答案】

【解析】

【分析】分别求出球面与面、面、面、面的交线长，相加即可得出结果.

【详解】如下图所示：

①因为正方形的边长为，所以，以顶点为球心，为半径的球与面的

交线是以为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为；

②因为底面，且，

所以，以顶点为球心，为半径的球与面的交线是以点为圆心，半径为

，圆心角为的圆弧，其长度为；

③设以顶点为球心，为半径的球与棱的交点为点，

因为，，则，

所以，，从而可得，

故以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为，

且圆心角为的圆弧，其长度为；

④同③可知，以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为，

且圆心角为的圆弧，其长度为.

因此，球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于.

故答案为：.

四、解答题（10+12+12+12+12+12）

17. 已知平面向量.

（1）若与垂直，求的值；

（2）若向量，若与共线，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求向量与的坐标，利用向量垂直的坐标运算，求的值；          

（2）求向量与的坐标，利用向量共线的坐标运算求的值，得向量的坐标，利用公式求.

【小问1详解】

，则，，

由与垂直，则，

解得.

【小问2详解】

，

则有，

由与共线，故，即，解得，                                       

可得，

18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.

（1）求第七组的频率；

（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中任取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求.

【答案】（1）；（2）174.5；（3）.

【解析】

【分析】（1）求出第六组的频率后，根据频率和为1可求得结果；

（2）根据前三组频率和小于0.5，前四组的频率大于0.5可知中位数位于第四，再根据中位数的概念列式可求得结果；

（3）将事件转化为随机抽取的两名男生在同一组，根据列举法以及古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】（1）第六组的频率为，

所以第七组的频率为；

（2）身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，

身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，

由于，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则

由得

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.

（3）第六组的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组的人数为2人，设为A，B，

则有共15种情况，

因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，

所以事件E包含的基本事件为共7种情况，

故.

【点睛】关键点点睛：将事件转化为随机抽取的两名男生在同一组是解题关键.

19. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足.

（1）求角的值；

（2）若，，求的面积.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可求得结果；

（2）由正弦定理结合已知求得，利用面积公式即可求得结果.

【详解】（1）因为

故，故可得，

即可得，又，

故可得.

（2）由（1）中所求，故可得，

则由，可得.

故可得三角形面积

【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.

20. 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点.

（1）求证：平面PCE⊥平面PAD；

（2）求PC与平面PAD所成的角的正切值；

（3）求二面角A-PD-C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

【分析】（1）推导出，，，从而平面，由此能证明平面平面；

（2）斜线在平面内的射影为，是与平面所成角的平面角，推导出，，由此能求出与平面所成角的正切值；

（3）过点作，垂足为，连结，推导出，平面，，是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．

【详解】（1）四边形为菱形，

，

，

为等边三角形，，

在中，是中点，

，

平面，平面，

，

，平面，平面，

平面，

平面，

平面平面．

（2）平面，

斜线在平面内的射影为，

即是与平面所成角的平面角，

平面，平面，

，

在中，，

在中，，

平面，平面，，

在中，，

与平面所成角的正切值为．

（3）在平面中，过点作，垂足为，连结，

平面，平面，

，

，

平面，，

是二面角的平面角，

在中，，，，

在中，，，，

在中，，

由余弦定理得，

二面角的正弦值为．

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．

21. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.

（1）证明：；

（2）若，且的面积为，求.

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【详解】试题分析：（1）由，根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.

试题解析：（1）根据正弦定理，

由已知得： ，

展开得： ，

整理得：，所以，.

（2）由已知得：，∴ ，

由，得：，，∴，

由，得：，所以，，

由 ，得：.

22. 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．

（1）求点B到平面ECD的距离；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）推导出，，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点面距离

（2）利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【小问1详解】

取中点，连接，，

，，，

平面，平面平面，平面平面，

平面，平面，，

又，，

分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则,,,,0,,,0,,,,，,

设平面的一个法向量为，，，

，,

则，取，得，

又,

所以点B到平面ECD的距离为

  【小问2详解】

由题意可知：平面的一个法向量为,0,，

设平面的一个法向量为，

,0,，,,，

则，取，得,0,，

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

则．

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．